1. Punkt, prosta, półprosta, odcinek – zapis i rozpoznawanie
Czy narysowana kreska oznacza drogę bez końca, czy jej skończony fragment? W geometrii wygląd kreski nie wystarcza: trzeba odczytać jej nazwę i oznaczenia.
Po tej lekcji: Rozpoznasz punkt, prostą, półprostą i odcinek oraz poprawnie odczytasz ich zapis.Na początek: Potrzebujesz jedynie umiejętności zaznaczenia miejsca na kartce i posługiwania się linijką.
Najpierw położenie, potem linia
Kropka na mapie wskazuje położenie. Jej matematycznym odpowiednikiem jest punkt: nie ma długości, szerokości ani pola. Rysowana kropka musi być widoczna, ale jej rozmiar nie jest rozmiarem punktu. Punkty oznaczamy wielkimi literami, np. A i B.
Prosta biegnie bez końca w obie strony. Półprosta ma początek i biegnie bez końca w jednym kierunku. Odcinek jest częścią prostej zawartą między dwoma punktami, razem z tymi punktami.
{"version":1,"elements":[{"type":"circle","attrs":{"cx":110,"cy":40,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":90,"y":46,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"A"}},{"type":"text","attrs":{"x":320,"y":47,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"punkt — położenie"}},{"type":"line","attrs":{"x1":65,"y1":105,"x2":530,"y2":105,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"65,105 75,110 75,100","fill":"#13233F","stroke":"none","stroke-width":3}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"530,105 520,100 520,110","fill":"#13233F","stroke":"none","stroke-width":3}},{"type":"text","attrs":{"x":300,"y":88,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"prosta p — bez końców"}},{"type":"line","attrs":{"x1":110,"y1":175,"x2":530,"y2":175,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"530,175 520,170 520,180","fill":"#13233F","stroke":"none","stroke-width":3}},{"type":"circle","attrs":{"cx":110,"cy":175,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":90,"y":181,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"A"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":300,"cy":175,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":300,"y":200,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"B"}},{"type":"text","attrs":{"x":330,"y":155,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"półprosta AB — początek A"}},{"type":"line","attrs":{"x1":110,"y1":260,"x2":470,"y2":260,"stroke":"#13233F","stroke-width":2.5}},{"type":"circle","attrs":{"cx":110,"cy":260,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":90,"y":266,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"A"}},{"type":"circle","attrs":{"cx":470,"cy":260,"r":4,"fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":490,"y":266,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"B"}},{"type":"text","attrs":{"x":300,"y":243,"font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-anchor":"middle","text-content":"odcinek AB — dwa końce"}}]}
Strzałka na schemacie oznacza możliwość dalszego przedłużania, a nie koniec obiektu. Na kartce widać tylko fragment prostej lub półprostej. Odcinek można natomiast narysować w całości.
Kolejność liter może zmienić znaczenie
Dwa różne punkty A i B wyznaczają dokładnie jedną prostą. Napis „prosta AB” i „prosta BA” wskazuje tę samą prostą. Również odcinek AB jest tym samym odcinkiem co BA. Natomiast półprosta AB zaczyna się w A i przechodzi przez B; półprosta BA zaczyna się w B i przechodzi przez A. Mają różne początki.
Przykład: trzy punkty na jednej prostej
Punkty leżą w kolejności A, B, C. Które z nich należą do półprostej BA?
- Litera B podaje początek — B należy do półprostej.
- Litera A wskazuje kierunek — A też do niej należy.
- C leży po drugiej stronie B, więc nie należy do półprostej BA.
Do półprostej AB należą natomiast wszystkie trzy punkty, bo od A idziemy przez B dalej do C.
Obiekt i jego długość to nie to samo
AB oznacza odcinek, gdy tak określono kontekst. Zapis |AB| = 4 cm mówi o jego długości. Na przykład odcinek CD może leżeć w innym miejscu i mieć taką samą długość: |AB| = |CD|. Nie oznacza to, że odcinki są tym samym zbiorem punktów.
Uwaga na rysunek. Nie uznawaj końca kreski na brzegu ilustracji za koniec prostej. Przeczytaj nazwę. Pojedynczy punkt nie wyznacza jednej prostej: można przez niego poprowadzić wiele prostych.Teraz spróbuj samodzielnie
Najpierw zapisz rozwiązanie. Jeśli utkniesz, rozwiń wskazówkę; pełne rozwiązanie sprawdź dopiero po własnej próbie. Błąd potraktuj jako informację, do którego wyjaśnienia warto wrócić.
Zadanie 1
Wskazówka
Policz końce.
Rozwiązanie i kontrola
To odcinek. Prosta i półprosta nie mają skończonej długości.
Zadanie 2
Wskazówka
10 mm to 1 cm.
Rozwiązanie i kontrola
Odcinek KL ma długość 35 mm, czyli 3,5 cm.
Zadanie 3
Wskazówka
Zacznij w B i idź przez C.
Rozwiązanie i kontrola
Nie. A leży po przeciwnej stronie początku B niż C.
Zadanie 4
Wskazówka
Oddziel obiekt z dwoma końcami od obiektu z początkiem.
Rozwiązanie i kontrola
Odcinki są identyczne. Półproste są różne, ponieważ mają różne początki.
Zadanie 5
Wskazówka
Wypisz pary bez powtarzania tej samej pary w odwrotnej kolejności.
Rozwiązanie i kontrola
Trzy: AB, AC i BC. Zapis BA nie daje czwartego odcinka.
Co warto zachować w pamięci?
Rozpoznawaj obiekt po liczbie końców. W półprostej pierwsza litera wskazuje początek; kreski |AB| oznaczają długość odcinka.
