Procenty, skala i jednostki — wyjaśnienia i przykłady
Poniżej znajdziesz rozszerzone wyjaśnienia i krótkie przykłady dotyczące: rabatów i marż (procenty w zakupach), skali map/modeli oraz zamiany jednostek przy użyciu proporcji. Materiał jest skierowany do uczących się i zawiera kroki obliczeniowe oraz praktyczne wskazówki.
Rabaty i podwyżki (zakupy)
Gdy w sklepie widzimy informację „20% taniej”, oznacza to, że nową cenę otrzymamy mnożąc cenę pierwotną przez współczynnik \(1 - r\), gdzie \(r\) to część ułamkowa (procent wyrażony jako ułamek dziesiętny).
Definicja:
\[ \text{nowa cena} = \text{stara cena} \cdot (1 - r) \]Analogicznie, przy podwyżce procentowej:
\[ \text{nowa cena} = \text{stara cena} \cdot (1 + r) \]Przykład krok po kroku — rabat 20%:
- Zamień procent na ułamek: \(20\% = 0{,}20\).
- Oblicz współczynnik po rabacie: \(1 - 0{,}20 = 0{,}80\).
- Pomnóż przez cenę: \(100 \cdot 0{,}80 = 80\) zł.
Przykład — podwyżka 15%:
- \(15\% = 0{,}15\).
- Współczynnik: \(1 + 0{,}15 = 1{,}15\).
- \(100 \cdot 1{,}15 = 115\) zł.
Uwaga o wielokrotnych zmianach procentowych:
- Zmiany procentowe łączą się przez mnożenie współczynników, nie przez dodawanie procentów.
- Przykład: najpierw -10%, potem +10%:
- Po pierwszym kroku: \(100 \cdot (1 - 0{,}10) = 90\).
- Po drugim kroku: \(90 \cdot (1 + 0{,}10) = 99\).
- Widać, że powrotu do 100 nie ma — wynik to \(100 \cdot 0{,}90 \cdot 1{,}10 = 99\).
Skala mapy i modelu
Skala 1:100000 oznacza, że 1 jednostka na mapie odpowiada 100000 tej samej jednostki w rzeczywistości. Najczęściej interpretujemy to jako 1 cm na mapie = 100000 cm w terenie.
Jak obliczać odległość rzeczywistą:
- Pomnóż długość na mapie przez mianownik skali, otrzymując wynik w tej samej jednostce.
- Przelicz wynik na wygodniejszą jednostkę (np. cm → m → km).
Przykład:
- Skala: 1:100000, odległość na mapie: 3 cm.
Przeliczenie: \(300000\ \text{cm} = 3000\ \text{m} = 3\ \text{km}\).
Można to zapisać krótko: \(3\ \text{cm} \times 100000 = 3\ \text{km}\).
Krótki przykład inny:
- Skala 1:50 000, pomiar 5 mm \(\Rightarrow\) \(5\ \text{mm} \times 50000 = 250000\ \text{mm} = 250\ \text{m}\).
Jednostki miar i proporcje
Proporcje to prosty sposób na zamianę jednostek: znasz równoważność (np. \(1\ \text{kg} = 1000\ \text{g}\)) i mnożysz przez odpowiedni współczynnik.
Przykład 1 — kilogramy na gramy:
- Chcemy zamienić \(2{,}5\ \text{kg}\) na gramy.
- Korzystamy z faktu \(1\ \text{kg} = 1000\ \text{g}\).
- Obliczenie: \(2{,}5 \cdot 1000 = 2500\ \text{g}\).
Przykład 2 — centymetry na metry:
- \(150\ \text{cm}\) to ile metrów?
- \(100\ \text{cm} = 1\ \text{m}\), więc \(150 \div 100 = 1{,}5\ \text{m}\).
Prosta metoda ogólna:
- Aby przeliczyć z jednostki A do jednostki B, znajdź współczynnik \(k\) taki, że \(1\ \text{A} = k\ \text{B}\), potem pomnóż ilość w A przez \(k\).
Wskazówki praktyczne i podsumowanie
- Z procentów korzystaj w postaci ułamka dziesiętnego: \(p\% = \frac{p}{100}\).
- Rabat/podwyżka to mnożenie przez \(1 - r\) lub \(1 + r\).
- Kolejne zmiany procentowe mnożymy (nie dodajemy procentów).
- Przy skalach pamiętaj o zachowaniu tych samych jednostek przy mnożeniu, a następnie o przeliczeniu na wygodniejszą jednostkę (np. cm → m → km).
- Przy zamianie jednostek możesz używać proporcji lub bezpośredniego współczynnika przeliczeniowego.
- Zawsze sprawdzaj jednostki na końcu i zaokrąglaj wyniki adekwatnie do sytuacji praktycznej.
Jeśli chcesz, mogę dodać więcej przykładów krok po kroku (różne skale, procenty skumulowane, nietypowe jednostki) lub krótkie zadania do samodzielnego rozwiązania z odpowiedziami.
