Misja

Masz ogarniać codzienne rachunki jak na egzaminie: procenty w cenach, skala na mapie i szybkie zamiany jednostek — bez gubienia się w „zera” i jednostki.

Cel

• Zamieniasz procent na ułamek dziesiętny i liczysz zmianę ceny.
• Rozumiesz skalę \(1:n\) jako mnożenie przez \(n\) (w tych samych jednostkach).
• Przeliczasz jednostki przez współczynnik (albo proporcję) i kontrolujesz jednostkę wyniku.

Wyjaśnienie

Procenty: \(p\% = \frac{p}{100}\). Rabat \(p\%\) to mnożenie przez \(1-\frac{p}{100}\), a podwyżka \(p\%\) przez \(1+\frac{p}{100}\):

\[ \text{nowa} = \text{stara}\cdot(1\pm r) \quad \text{gdzie } r=\frac{p}{100} \]

Skala \(1:n\): 1 jednostka na mapie to \(n\) tych samych jednostek w rzeczywistości. Najpierw mnożysz, potem dopiero zmieniasz jednostkę.

Jednostki: znajdź współczynnik \(k\) w zdaniu „\(1\,A = k\,B\)”, a potem licz: \(x\,A = x\cdot k\,B\).

Przykład 1 (krok po kroku): rabat

Cena \(250\,\text{zł}\), rabat \(20\%\). Ile zapłacisz?

1. Zamień procent: \(20\% = 0{,}20\).
2. Współczynnik po rabacie: \(1-0{,}20=0{,}80\).
3. Nowa cena: \(250\cdot 0{,}80=200\,\text{zł}\).

Przykład 2 (krok po kroku): skala mapy

Skala \(1:50\,000\). Na mapie jest \(6\,\text{cm}\). Jaka to odległość w terenie?

1. W tych samych jednostkach: \(6\,\text{cm}\cdot 50\,000 = 300\,000\,\text{cm}\).
2. Na metry: \(300\,000\,\text{cm} = 3\,000\,\text{m}\).
3. Na kilometry: \(3\,000\,\text{m} = 3\,\text{km}\).

Pułapka

• Wielokrotne zmiany procentowe mnożysz współczynniki, nie dodajesz procentów (np. \(-10\%\) i potem \(+10\%\) nie daje zera).
• W skali najpierw trzymaj te same jednostki (cm z cm, mm z mm), dopiero potem zamieniaj.
• Przy jednostkach sprawdź końcówkę: wynik ma mieć \(\text{g}\), \(\text{m}\), \(\text{km}\) itd.

Sprawdź się

1. Cena \(80\,\text{zł}\), podwyżka \(15\%\). Jaka nowa cena?
2. Najpierw rabat \(10\%\) od \(200\,\text{zł}\), potem podwyżka \(10\%\). Jaki wynik?
3. Skala \(1:100\,000\), na mapie \(2{,}5\,\text{cm}\). Ile to km?
4. Zamień \(3{,}2\,\text{kg}\) na gramy.
5. Zamień \(750\,\text{cm}\) na metry.