Misja

Masz podzielić całość „uczciwie według proporcji” — bez zgadywania. Każdy dostaje tyle, ile wynika z udziałów.

Cel

• Umiesz zamienić zapis \(2:1:7\) na udziały.
• Liczysz sumę udziałów i wartość jednego udziału.
• Sprawdzasz, czy części dają z powrotem całość.

Wyjaśnienie

Jeśli dzielisz całość \(T\) w stosunku \(r_1:r_2:\dots:r_n\), to:

\[ S=r_1+r_2+\dots+r_n \]

Jedna „porcja udziału” ma wartość \(\frac{T}{S}\), a konkretna część:

\[ p_i=r_i\cdot\frac{T}{S} \]

To działa tak samo dla centymetrów, złotówek i litrów — ważne, żeby jednostki były te same.

Przykład 1 (krok po kroku): tasiemka

Podziel \(T=10\,\text{cm}\) w stosunku \(2:1:7\).

1. Udziały: \(2\), \(1\), \(7\). Suma: \(S=2+1+7=10\).
2. Wartość jednego udziału: \(\frac{T}{S}=\frac{10}{10}=1\,\text{cm}\).
3. Części: \(2\cdot 1=2\,\text{cm}\), \(1\cdot 1=1\,\text{cm}\), \(7\cdot 1=7\,\text{cm}\).
4. Sprawdzenie: \(2+1+7=10\,\text{cm}\).

Przykład 2 (krok po kroku): pieniądze

Podziel \(T=120\,\text{zł}\) w stosunku \(3:5:2\).

1. Suma udziałów: \(S=3+5+2=10\).
2. Jeden udział: \(\frac{120}{10}=12\,\text{zł}\).
3. Części: \(3\cdot 12=36\,\text{zł}\), \(5\cdot 12=60\,\text{zł}\), \(2\cdot 12=24\,\text{zł}\).
4. Sprawdzenie: \(36+60+24=120\,\text{zł}\).

Pułapka

• Nie dziel \(T\) przez liczbę części, tylko przez sumę udziałów \(S\).
• Gdy wychodzą ułamki dziesiętne — to normalne. Zaokrąglanie stosuj dopiero, gdy zadanie tego wymaga, i wtedy sprawdź sumę.
• Jednostki muszą pasować (np. wszystko w cm albo wszystko w m).

Sprawdź się

1. Podziel \(T=45\,\text{zł}\) w stosunku \(1:4\).
2. Podziel \(T=6\,\text{m}\) w stosunku \(2:3:5\).
3. Masz stosunek \(3:6:9\). Uprość go i powiedz, czy wynik podziału się zmieni.
4. W podziale wyszło \(S=12\) i \(T=30\). Ile wynosi 1 udział?