Procenty i proporcje • lekcja 8 z 9

Podział proporcjonalny

Dzielisz 180 cm wstążki w stosunku 2 : 3. Nie chodzi o dwa równe kawałki, lecz o dwa kawałki zbudowane z jednakowych udziałów. Rysunek pomoże znaleźć wielkość jednego udziału.

Na początek: Rozumiesz stosunek liczb, potrafisz dzielić i mnożyć oraz zamieniać prosty ułamek na procent.

Dwa kawałki, pięć równych udziałów

Stosunek 2 : 3 oznacza, że pierwszy kawałek ma dwa udziały, a drugi trzy udziały tej samej wielkości. Razem potrzebujemy 2 + 3 = 5 równych udziałów. Cała wstążka ma 180 cm.

{"version":1,"elements":[{"type":"text","attrs":{"x":20,"y":30,"text-content":"Całość: 180 cm","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":65,"width":76,"height":55,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"rect","attrs":{"x":96,"y":65,"width":76,"height":55,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"rect","attrs":{"x":172,"y":65,"width":76,"height":55,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"rect","attrs":{"x":248,"y":65,"width":76,"height":55,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"rect","attrs":{"x":324,"y":65,"width":76,"height":55,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"text","attrs":{"x":20,"y":165,"text-content":"2 udziały: 72 cm","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":20,"y":205,"text-content":"3 udziały: 108 cm","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}}]}

Przykład: dzielimy 180 cm

1. Jeden udział ma 180 : 5 = 36 cm.
2. Pierwszy kawałek ma 2 · 36 = 72 cm.
3. Drugi kawałek ma 3 · 36 = 108 cm.
4. Kontrola sumy: 72 + 108 = 180 cm.
5. Kontrola stosunku: 72 : 108 = 2 : 3, bo obie liczby dzielimy przez 36.

Podzielenie 180 przez liczbę kawałków, czyli przez 2, dałoby 90 cm i 90 cm. Suma byłaby dobra, ale stosunek wynosiłby 1 : 1. Sama zgodność sumy nie wystarcza.

Dodaj liczby udziałów. Podziel całość przez tę sumę. Następnie pomnóż wielkość jednego udziału przez kolejne liczby ze stosunku. Dla dodatniej całości T i dodatniego stosunku a : b jeden udział wynosi T : (a + b).

Trzy części to ten sam pomysł

Przykład: 240 zł w stosunku 2 : 3 : 5

Łącznie jest 10 udziałów. Jeden to 240 : 10 = 24 zł. Kolejne części wynoszą 48 zł, 72 zł i 120 zł. Ich suma to 240 zł. Po podzieleniu każdej kwoty przez 24 otrzymujemy 2, 3, 5, więc zachowano również stosunek.

Część względem części czy względem całości?

W stosunku 2 : 3 pierwszy kawałek stanowi 2/3 drugiego, ale tylko 2/5 całej wstążki. Całość zawiera przecież pięć udziałów. Stąd pierwszy kawałek stanowi 40% całości, a drugi 60%. Nie interpretuj zapisu 2 : 3 jako „dwie trzecie całości”.

Stosunek 4 : 6 daje taki sam podział jak 2 : 3. Można skrócić obie liczby przez 2. Przy 180 cm dziesięć udziałów po 18 cm daje 72 i 108 cm, czyli te same końcowe długości co pięć udziałów po 36 cm.

Czy zawsze da się podzielić?

Długości mogą być ułamkowe, ale całych przedmiotów nie zawsze można rozdzielić dokładnie. Dla 20 naklejek i stosunku 2 : 3 wychodzą 8 i 12, więc podział jest możliwy. Dla 21 naklejek części wyniosłyby 8,4 i 12,6. Jeśli nie wolno rozcinać naklejek, dokładny podział nie jest możliwy. Nie zaokrąglaj do 8 i 13 i nie nazywaj tego stosunkiem 2 : 3.

Teraz sprawdź swoje rozumienie

Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Najważniejsze zależności

Dziel przez sumę udziałów, a nie przez liczbę odbiorców. Sprawdź zarówno sumę części, jak i ich stosunek oraz możliwość podziału w danym kontekście.