Podział proporcjonalny — szczegółowe wyjaśnienie dla uczniów

Podział proporcjonalny polega na rozdzieleniu całej wielkości (np. długości tasiemki, kwoty pieniędzy, objętości) na kilka części tak, aby stosunek tych części był zgodny z podaną proporcją. Zamiast dzielić "na oko", przeliczamy udział każdej części względem sumy wszystkich udziałów.

Krok po kroku: jak wykonać podział proporcjonalny

1. Zapisz otrzymane liczby proporcji (udziały).
   Przykład: dla stosunku \(2:1:7\) mamy udziały \(r_1=2\), \(r_2=1\), \(r_3=7\).

2. Oblicz sumę udziałów:

   \[ S = \sum_{i=1}^{n} r_i. \]

   W przykładzie \(S = 2 + 1 + 7 = 10\).

3. Podziel całość (oznaczmy ją \(T\)) przez sumę udziałów, aby otrzymać wartość jednego udziału:

   \[ \text{wartość jednego udziału} = \frac{T}{S}. \]

   Dla tasiemki długości \(T = 10\ \text{cm}\) mamy \( \frac{10}{10} = 1\ \text{cm} \) na udział.

4. Pomnóż każdy udział przez wartość jednego udziału, aby uzyskać długości poszczególnych części:

   \[ p_i = r_i \cdot \frac{T}{S} \quad \text{dla } i=1,\dots,n. \]

   W przykładzie:

   • \(p_1 = 2 \cdot 1\ \text{cm} = 2\ \text{cm}\),
   • \(p_2 = 1 \cdot 1\ \text{cm} = 1\ \text{cm}\),
   • \(p_3 = 7 \cdot 1\ \text{cm} = 7\ \text{cm}\).

5. Sprawdź wynik — suma części powinna równać się całości:

   \[ \sum_{i=1}^{n} p_i = T. \]

Ogólny wzór

Jeżeli mamy całkowitą wielkość \(T\) i proporcje \(r_1, r_2, \dots, r_n\), to:

\[ S = r_1 + r_2 + \dots + r_n, \qquad p_i = r_i \cdot \frac{T}{S}\quad (i=1,\dots,n). \]

Kolejny krótki przykład

Podzielmy \(T = 5\ \text{m}\) na części w stosunku \(2:3:5\).

1. Suma udziałów: \(S = 2+3+5=10\).

2. Wartość jednego udziału: \(\frac{5}{10} = 0{,}5\ \text{m}\).

3. Części:

   • \(p_1 = 2 \cdot 0{,}5 = 1\ \text{m}\),
   • \(p_2 = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5\ \text{m}\),
   • \(p_3 = 5 \cdot 0{,}5 = 2{,}5\ \text{m}\).

   Sprawdzenie: \(1 + 1{,}5 + 2{,}5 = 5\ \text{m}\).

Procenty zamiast części

Często wygodniej jest zapisać udziały jako procenty całości. Udział \(r_i\) odpowiada procentowi

\[ \text{proc}_i = \frac{r_i}{S}\cdot 100\%. \]

W przykładzie \(2:1:7\) udział \(2\) to \(\frac{2}{10}\cdot100\% = 20\%\), udział \(7\) to \(70\%\) itd.

Uwagi praktyczne i zaokrąglanie

• Wyniki nie zawsze będą liczbami całkowitymi — zdarzą się wartości dziesiętne. To jest normalne i dopuszczalne.
• Jeśli wymagane są całe jednostki (np. centymetry bez części), trzeba zastosować regułę zaokrąglania, ale wtedy może się zmienić dokładny stosunek. W takim przypadku zaleca się:
  1. najpierw policzyć wartości dokładne,
  2. następnie zaokrąglić wszystkie do najbliższej jednostki,
  3. a na końcu ewentualnie skorygować największą część, aby suma znów równała się \(T\).
• Upewnij się, że jednostki są konsekwentne (wszystko w cm, m, zł itp.).

Krótkie podsumowanie

Podział proporcjonalny to prosty sposób rozdzielenia całości zgodnie z danymi udziałami. Najważniejsze kroki to zsumowanie udziałów, obliczenie wartości jednego udziału przez podzielenie całości przez sumę, oraz przemnożenie każdego udziału przez tę wartość. Ten schemat działa niezależnie od tego, czy dzielisz długość, pieniądze czy cokolwiek innego.