Procenty i proporcje • lekcja 7 z 9

Uzupełnianie wartości w proporcji

Przepis wymaga 2 miarek syropu na 5 miarek wody. Gdy wody będzie 15 miarek, ile potrzeba syropu? Zachowanie smaku wymaga zachowania stosunku, a nie różnicy ilości.

Na początek: Umiesz skracać i rozszerzać ułamki oraz rozwiązać równanie typu 3x = 12. Stosunek a : b oznacza iloraz a/b.

Ta sama kolejność, ten sam mnożnik

Pięć miarek wody zwiększamy do 15, czyli trzykrotnie. Syropu również potrzebujemy trzy razy więcej: 2 · 3 = 6 miarek. Stosunek syropu do wody wynosi 2 : 5 = 6 : 15.

{"version":1,"elements":[{"type":"text","attrs":{"x":20,"y":30,"text-content":"Syrop : woda","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":55,"width":380,"height":70,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"text","attrs":{"x":45,"y":98,"text-content":"2 miarki : 5 miarek","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":45,"y":166,"text-content":"↓ ×3 dla obu składników","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":190,"width":380,"height":70,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"text","attrs":{"x":45,"y":233,"text-content":"6 miarek : 15 miarek","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}}]}

Proporcja to równość dwóch stosunków, czyli równość dwóch ułamków. W zapisie a/b = c/d mianowniki b i d muszą być niezerowe. Po obu stronach zachowujemy tę samą kolejność porównywanych wielkości.

W przykładzie liczniki opisują syrop, a mianowniki wodę. Zapis 2/5 = 15/6 pomieszałby kolejność. Przed układaniem proporcji warto podpisać dane i zachować zgodne jednostki dla tej samej wielkości.

Skalowanie nie zawsze jest całkowite

Przykład: x/10 = 3/4

1. Mianownik 4 trzeba pomnożyć przez 10 : 4 = 2,5, aby dostać 10.
2. Licznik mnożymy przez ten sam czynnik: x = 3 · 2,5 = 7,5.
3. Kontrola: 7,5 : 10 = 0,75 i 3 : 4 = 0,75.

Można też pomnożyć obie strony równania przez 10: x = 10 · (3/4) = 7,5. Wynik ułamkowy nie jest błędem; wynika z podanych liczb.

Dlaczego działa mnożenie na krzyż?

W proporcji a/b = c/d pomnóż obie strony przez b · d. Po skróceniu otrzymasz a · d = b · c. To przekształcenie równania przy niezerowych mianownikach, nie dowolna zamiana liczb miejscami.

Przykład: 3/4 = 9/x

Najpierw x ≠ 0, bo jest mianownikiem. Mnożymy obie strony przez 4x: 3x = 36, więc x = 12. Kontrola w pierwotnym zapisie: 9/12 = 3/4. Wynik nie zeruje mianownika.

Przepis i jednostki

Na 200 ml mleka potrzeba 300 g mąki. Ile mąki potrzeba na 0,5 l mleka? Najpierw 0,5 l = 500 ml. Mleka jest 500 : 200 = 2,5 raza więcej, więc mąki potrzeba 300 · 2,5 = 750 g. Nie trzeba zamieniać gramów na mililitry: to różne wielkości. Trzeba natomiast używać tej samej jednostki mleka w obu porcjach oraz tej samej jednostki mąki.

Pułapka: równe przyrosty

Przejście z 5 do 15 można opisać jako dodanie 10. Jednak dodanie 10 do 2 dałoby 12, a 12/15 = 0,8, podczas gdy 2/5 = 0,4. Aby zachować stosunek, mnożymy licznik i mianownik przez ten sam niezerowy czynnik. Nie zastępuj mnożenia dodawaniem. Po rozwiązaniu zawsze wróć do pierwotnych ułamków.

Teraz sprawdź swoje rozumienie

Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Najważniejsze zależności

Proporcja zachowuje iloraz i kolejność wielkości. Skaluj przez ten sam czynnik albo przekształć równanie. Mianowniki nie mogą być zerem.