Misja

Masz zostać „detektywem proporcji”: rozpoznawać, kiedy dwa stosunki mówią o tej samej skali i szybko wyciągać brakującą liczbę.

Cel

• Rozumiesz zapis proporcji i warunek: mianowniki \(\neq 0\).
• Stosujesz iloczyn krzyżowy do wyznaczania niewiadomej.
• Umiesz sprawdzić, czy dwa stosunki są proporcjonalne.

Wyjaśnienie

Proporcja to równość dwóch stosunków (czyli dwóch ułamków):

\[ \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \]

Najważniejsza broń na egzaminie to iloczyn krzyżowy:

\[ a\cdot d=b\cdot c \]

Myśl o tym jak o „zrównaniu skali”: jeśli ułamki są równe, to po przemnożeniu na krzyż dostaniesz to samo.

Przykład 1 (krok po kroku): reguła trzech

Dane: \(2:5=x:15\). Znajdź \(x\).

1. Zapisz jako ułamki: \(\frac{2}{5}=\frac{x}{15}\).
2. Iloczyn krzyżowy: \(2\cdot 15=5\cdot x\).
3. Policz i wyznacz \(x\): \(30=5x\Rightarrow x=6\).

Przykład 2 (krok po kroku): czy to na pewno proporcja?

Sprawdź, czy \(10:15\) i \(6:9\) są proporcjonalne.

1. Zamień na ułamki: \(\frac{10}{15}\) i \(\frac{6}{9}\).
2. Skróć: \(\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\) oraz \(\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\).
3. Ułamki równe \(\Rightarrow\) stosunki proporcjonalne.

Pułapka

• Nie mieszaj miejsc: jeśli masz \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), to zawsze \(a\cdot d=b\cdot c\) (a nie „po sąsiedzku”).
• Nie wolno dzielić przez 0: w proporcji \(b\neq 0\) i \(d\neq 0\).
• Zanim mnożysz duże liczby, skróć ułamki (mniej rachunków, mniej błędów).

Sprawdź się

1. Rozwiąż: \(3:4=9:d\).
2. Rozwiąż: \(x:8=3:4\).
3. Czy \(14:21\) i \(8:12\) są proporcjonalne?
4. Uzupełnij: jeśli \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\), to \(d=?\) (podaj wzór).