Proporcjonalność wprost — wyjaśnienie i przykłady

Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy jedna zmienia się wprost proporcjonalnie do drugiej — to znaczy, że ich stosunek jest stały. Matematycznie zapisujemy to wzorem:

gdzie \(a\) to stały współczynnik proporcjonalności (tzw. współczynnik kierunkowy). Współczynnik \(a\) informuje, o ile jednostek zmienia się \(y\), gdy \(x\) zmienia się o jedną jednostkę. Jednostka \(a\) to jednostka \(y\) podzielona przez jednostkę \(x\) (np. zł/kg, km/h itp.).

Kluczowe własności:

• Stosunek \( \frac{y}{x} \) jest stały i równy \(a\): \[ a = \frac{y}{x} \]
• Wykres zależności wprost proporcjonalnej to prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych (punkt \((0,0)\)) o nachyleniu \(a\).
• Dla \(x=0\) zawsze mamy \(y=0\).

Jak sprawdzić, czy dwie wielkości są wprost proporcjonalne — krok po kroku

1. Weź dwa różne punkty pomiarowe \((x_1,y_1)\) i \((x_2,y_2)\).
2. Oblicz stosunki \(\frac{y_1}{x_1}\) i \(\frac{y_2}{x_2}\).
3. Jeśli stosunki są równe (czyli \(\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}\)), to wielkości są wprost proporcjonalne, a wspólny stosunek to \(a\). W przeciwnym razie nie są.

Przykład kontrolny:

• Dane: \((x_1,y_1)=(2,12)\) i \((x_2,y_2)=(5,30)\).
• Obliczenia: \(\frac{12}{2}=6\) oraz \(\frac{30}{5}=6\).
• Wniosek: stosunki są równe, czyli zależność jest wprost proporcjonalna z \(a=6\).

Obliczanie wartości — przykłady

Przykład 1 (cena jabłek)

Wiemy, że cena za 1 kg jabłek to 5 zł. To oznacza równanie:

gdzie \(x\) to masa w kg, a \(y\) to cena w zł.

Obliczenia:

• Dla \(x=2\): \(y = 5\cdot 2 = 10\) zł.
• Dla \(x=3\): \(y = 5\cdot 3 = 15\) zł.

Jeśli chcemy znaleźć masę \(x\) gdy znamy cenę \(y=25\) zł:

Przykład 2 (droga i czas przy stałej prędkości)

Dla stałej prędkości \(v\) droga \(s\) jest proporcjonalna do czasu \(t\):

Tutaj współczynnik \(a\) to prędkość \(v\) (jednostka: np. km/h).

Jeśli \(v=60\) km/h, to w czasie \(t=2\) h pokonamy \(s = 60\cdot 2 = 120\) km.

Przykład 3 (liczba zadań a czas pracy)

Jeśli 1 osoba wykonuje 6 zadań w godzinę, to liczba wykonanych zadań \(z\) jest proporcjonalna do liczby godzin \(h\):

Dla \(h=3\) mamy \(z=18\).

Różnica między proporcjonalnością a funkcją afinną

Czasami spotkamy zależności postaci \(y = a x + b\) z \(b \neq 0\). To już nie jest proporcjonalność wprost — jest to funkcja afinna (przesunięta prosta). Różnica widoczna jest na wykresie: linia nie przechodzi przez początek układu współrzędnych. Przykład: koszt przesyłki z opłatą stałą \(b\) plus cena za kg to \(y = 5x + 10\) — przy \(x=0\) koszt wynosi 10 zł (opłata stała), więc nie mamy proporcjonalności.

Kilka dodatkowych uwag i przypadków brzegowych

• Jeśli \(a<0\), to zależność jest malejąca: wzrost \(x\) powoduje spadek \(y\).
• Jeśli \(0
• Zawsze sprawdzaj jednostki: \(a\) ma sens tylko jako „ile jednostek \(y\) na jedną jednostkę \(x\)” — np. zł/kg, km/h, szt./h.
• Gdy \(x=0\) i \(y\neq 0\), nie mamy proporcjonalności (bo równanie \(y=ax\) wymaga \(y=0\)).

Podsumowanie: Proporcjonalność wprost to prosta, intuicyjna zależność opisana równaniem

w której stosunek \( \frac{y}{x} \) jest stały. Rozpoznajemy ją przez porównanie stosunków i stosujemy do wielu praktycznych zadań: ceny, prędkości, skalowanie przepisów itp.