Procenty i proporcje • lekcja 6 z 9

Proporcjonalność prosta i jej rozpoznawanie

Dwa razy więcej kilogramów kosztuje dwa razy więcej — ale tylko przy stałej cenie jednostkowej i bez dodatkowej opłaty. Poznasz warunek, który odróżnia proporcjonalność od zwykłego wzrostu.

Na początek: Potrafisz obliczać ilorazy i odczytywać proste tabele. Odróżniasz masę w kilogramach od kosztu w złotych.

Co pozostaje stałe?

Orzechy kosztują 8 zł za kilogram. Zakładamy brak rabatów i dodatkowych opłat. Dla 1 kg koszt wynosi 8 zł, dla 2 kg — 16 zł, a dla 3 kg — 24 zł. Koszt zmienia się, lecz cena za 1 kg wciąż wynosi 8 zł.

{"version":1,"elements":[{"type":"text","attrs":{"x":20,"y":27,"text-content":"1 kg → 8 zł","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":40,"width":126.66666666666667,"height":30,"fill":"#1769D3","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"text","attrs":{"x":20,"y":119,"text-content":"2 kg → 16 zł","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":132,"width":253.33333333333334,"height":30,"fill":"#1769D3","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"text","attrs":{"x":20,"y":211,"text-content":"3 kg → 24 zł","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":224,"width":380,"height":30,"fill":"#1769D3","stroke":"#13233F","stroke-width":1}}]}

Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy jedna jest stałą wielokrotnością drugiej: y = k · x. Litera x oznacza pierwszą wielkość, y drugą, a k stały współczynnik proporcjonalności. Dla x ≠ 0 iloraz y : x jest równy k. W przykładach z zakupami rozważamy wielkości nieujemne i k > 0.

Tutaj x to masa w kg, y to koszt w zł, a k = 8 zł/kg. Dla podwojonej masy otrzymujemy podwojony koszt. Tak samo działa pomnożenie masy przez 0,5 albo 1,5: koszt mnożymy przez ten sam czynnik.

Przez jedną jednostkę w obie strony

Przykład: inny towar

1. Za 3 kg gruszek zapłacono 21 zł. Cena za kilogram jest stała, więc 21 : 3 = 7 zł/kg.
2. Za 4,5 kg zapłacimy 4,5 · 7 = 31,50 zł.
3. Masy 4,5 kg i 3 kg są w stosunku 1,5 : 1. Koszty też: 31,5 : 21 = 1,5.
4. Za 35 zł kupimy 35 : 7 = 5 kg. Kontrola: 5 · 7 = 35 zł.

Dzielenie kosztu przez masę daje cenę jednostkową. Dzielenie budżetu przez cenę jednostkową daje masę. Podpisy jednostek pomagają ustalić, którego działania potrzebujesz.

Rosną razem — czy to wystarcza?

Do zamówienia orzechów doliczamy teraz 10 zł dostawy. Koszt 1 kg z dostawą to 18 zł, a 2 kg — 26 zł. Dwa razy większa masa nie daje dwa razy większego kosztu: 26 ≠ 36. Także ilorazy są różne: 18 : 1 = 18 i 26 : 2 = 13. Koszt z dostawą nie jest wprost proporcjonalny do masy. Opisuje go y = 8x + 10, a nie y = kx.

Inny przykład to bok i pole kwadratu. Dla boku 2 cm pole wynosi 4 cm², a dla boku 4 cm — 16 cm². Podwojenie boku zwiększa pole czterokrotnie, więc nie ma proporcjonalności wprost między bokiem a polem.

Jak czytać dane bez nadmiernych wniosków?

Pary (2, 10) i (3, 15) mają taki sam iloraz drugiej liczby przez pierwszą: 5. Są zgodne z modelem y = 5x. Same dwie pary nie dowodzą jednak, że każda kolejna para go spełni — potrzebujemy założenia, na przykład stałej ceny. Jedna para o innym ilorazie wystarczy do odrzucenia proporcjonalności. Dla x = 0 nie dziel przez zero; z reguły y = kx wynika wtedy y = 0.

Teraz sprawdź swoje rozumienie

Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Najważniejsze zależności

W proporcjonalności wprost stały jest iloraz odpowiadających sobie wielkości. Sam wspólny wzrost nie wystarcza. Najpierw sprawdź założenia, potem licz przez jedną jednostkę.