Proporcjonalność wprost (czyli „rośnie w tym samym tempie”)

Misja

W zadaniach egzaminacyjnych często trzeba rozpoznać, czy zależność jest „wprost proporcjonalna”, czy tylko „prawie taka”. Klucz jest prosty: wprost proporcjonalnie znaczy, że stosunek \(\frac{y}{x}\) jest stały. Wtedy wykres to prosta przechodząca przez \((0,0)\).

Cel

• Rozpoznasz proporcjonalność wprost po stałym stosunku.
• Zapiszesz zależność jako \(y=ax\) i odczytasz sens \(a\).
• Policzysz brakującą wartość (z tabeli, z treści).
• Odseparujesz \(y=ax\) od \(y=ax+b\).

Wyjaśnienie

Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy:

czyli \(\frac{y}{x}=a\) jest stałe (dla \(x\neq 0\)). Współczynnik \(a\) mówi: ile \(y\) przypada na 1 jednostkę \(x\) (np. zł/kg, km/h).

Test z dwóch punktów \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\): jeśli \(\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}\), to jest wprost proporcjonalnie.

Przykład 1 (krok po kroku)

Jabłka: 5 zł za 1 kg. Ile kosztuje 3 kg i ile kg kupisz za 25 zł?

1. Ustal \(a\): \(a=5\) (zł/kg).
2. Równanie: \(y=5x\), gdzie \(x\) — kg, \(y\) — zł.
3. Dla \(x=3\): \(y=5\cdot 3=15\) zł.
4. Dla \(y=25\): \(x=\frac{y}{a}=\frac{25}{5}=5\) kg.

Przykład 2 (krok po kroku)

Sprawdź, czy to proporcjonalność: punkty (2,12) i (5,30).

1. Policz stosunki: \(\frac{12}{2}=6\) i \(\frac{30}{5}=6\).
2. Stosunki równe → wprost proporcjonalnie.
3. Współczynnik: \(a=6\), więc \(y=6x\).

Pułapka

• Funkcja przesunięta: \(y=ax+b\) z \(b\neq 0\) nie jest wprost proporcjonalna (wykres nie przechodzi przez \((0,0)\)).
• Jednostki: \(a\) ma sens tylko jako „\(y\) na \(x\)” (np. zł/kg). Bez jednostek łatwo o błąd.
• Dzielenie nie tak: w teście liczysz \(\frac{y}{x}\), nie \(\frac{x}{y}\).

Sprawdź się

1. Stała cena 7 zł/kg. Ile kosztuje 4,5 kg?
2. Wprost proporcjonalnie: \(y=3x\). Oblicz \(y\) dla \(x=8\).
3. Czy punkty (3,9) i (6,20) mogą leżeć na wykresie proporcjonalności wprost?
4. Koszt przesyłki: \(y=5x+10\). Czy to proporcjonalność wprost? Dlaczego?