Wielokrotne zmiany procentowe — zasada, przykłady i objaśnienia
Gdy pewna wielkość (np. cena, ilość, wartość) zmienia się procentowo kilka razy z rzędu, każdą zmianę liczymy niezależnie — przez mnożenie przez odpowiedni współczynnik. To wynika z faktu, że procenty odnoszą się zawsze do bieżącej wartości, nie do wartości początkowej (chyba że wyraźnie podano inaczej).
- Dla podwyżki o \(p\%\) używamy współczynnika \(1+\dfrac{p}{100}\).
- Dla obniżki o \(p\%\) używamy współczynnika \(1-\dfrac{p}{100}\).
- Jeżeli mamy sekwencję zmian \(p_1, p_2, \dots, p_n\) (gdzie wartości mogą być dodatnie lub ujemne), ostateczna wartość \(V_{\text{ost}}\) dla wartości początkowej \(V_0\) jest równa iloczynowi tych współczynników: \[ V_{\text{ost}} \;=\; V_0 \prod_{i=1}^{n}\left(1+\dfrac{p_i}{100}\right). \]
Ogólna zmiana procentowa wyrażona względem wartości początkowej to
\[ \Delta\% \;=\; \left(\prod_{i=1}^{n}\left(1+\dfrac{p_i}{100}\right) - 1\right)\cdot 100\%. \]Poniżej wyjaśnienia i przykłady krok po kroku.
Przykład 1 — przykład z treści (krok po kroku)
Cena początkowa: 100 zł. Najpierw wzrost o 20%, potem wzrost o 10%.
- Po wzroście o 20%: \[ 100\cdot\left(1+\dfrac{20}{100}\right)=100\cdot 1{,}20 = 120\ \text{zł}. \]
- Następnie wzrost o 10% (liczymy od nowej ceny 120 zł): \[ 120\cdot\left(1+\dfrac{10}{100}\right)=120\cdot 1{,}10 = 132\ \text{zł}. \]
Widać, że efekt dwóch zmian to iloczyn współczynników \(1{,}20\cdot1{,}10=1{,}32\), czyli 32% wzrostu względem wartości początkowej.
Jeżeli po tych podwyżkach obniżymy cenę o 10% (czyli od 132 zł), to:
\[ 132\cdot\left(1-\dfrac{10}{100}\right)=132\cdot 0{,}90 = 118{,}8\ \text{zł}, \]czyli cena nie wróci do 100 zł. Dlaczego? Ponieważ obniżka procentowa liczona jest od wyższej wartości (132 zł), więc ten sam procent oznacza większą kwotę w złotówkach podczas podwyżki niż podczas obniżki z wyższej podstawy.
Przykład 2 — podwyżka, a potem taka sama obniżka (symetryczny przypadek)
Jeżeli najpierw podniesiemy wartość o \(p\%\), a potem obniżymy o \(p\%\), to współczynnik końcowy wynosi:
\[ \left(1+\dfrac{p}{100}\right)\left(1-\dfrac{p}{100}\right) =1-\left(\dfrac{p}{100}\right)^2. \]Dla \(p\neq 0\) wyrażenie to jest mniejsze od 1, więc ostateczna wartość jest mniejsza od początkowej. Przykład numeryczny: \(p=20\%\),
\[ (1{,}20)(0{,}80)=0{,}96, \]czyli 100 zł → 96 zł (spadek o 4%).
To pokazuje prostą, ale istotną własność: podwyżka i potem taka sama obniżka procentowa NIE znoszą się nawzajem.
Przykład 3 — mieszane zmiany (szybkie obliczenie)
Załóżmy zmiany: +20%, +10%, −5% względem bieżących wartości. Współczynnik końcowy to:
\[ 1{,}20\cdot 1{,}10\cdot 0{,}95 = 1{,}254. \]Jeżeli wartość początkowa wynosiła 100, to końcowa będzie \(100\cdot1{,}254=125{,}4\), czyli 25,4% wzrostu.
Krótszy sposób: pomnóż wszystkie współczynniki, potem odejmij 1 i pomnóż przez 100%, aby otrzymać procentową zmianę.
Właściwości i wskazówki praktyczne
- Mnożenie jest przemienne: kolejność procentów nie wpływa na ostateczny iloczyn współczynników. Czyli zestaw zmian +20% i +10% da ten sam wynik niezależnie od kolejności. Jednak w praktycznych sytuacjach kolejność może mieć znaczenie, jeśli dodatkowo wprowadzone są zaokrąglenia po każdym kroku (np. ceny zaokrąglane do grosza).
- Aby obliczyć od razu procentową różnicę względem wartości początkowej, użyj wzoru \[ \Delta\%=\left(\prod_{i}\left(1+\dfrac{p_i}{100}\right)-1\right)\cdot100\%. \]
- Drobne procenty można przybliżać sumując je (np. +2% i +1% ≈ +3%), ale dokładny wynik wymaga mnożenia współczynników. Błąd przy przybliżeniu wynika z pominięcia składnika iloczynowego.
- Zwracaj uwagę na zaokrąglenia: jeśli ceny są zaokrąglane po każdym kroku (np. do grosza), efekt końcowy może się nieznacznie różnić od wyniku obliczonego bez zaokrągleń.
- W zadaniach praktycznych warto zapisać współczynniki w formie dziesiętnej — wtedy mnożenie jest szybkie: +25% → 1,25; −12% → 0,88.
Podsumowanie — co zapamiętać
- Każdą zmianę procentową stosujemy do bieżącej wartości.
- Zmiany łączymy przez mnożenie współczynników \(1+\dfrac{p}{100}\).
- Symetryczna podwyżka i obniżka o ten sam procent nie przywraca wartości początkowej.
- Łatwy wzór na końcowy procent zmiany to \( \left(\prod_i\left(1+\dfrac{p_i}{100}\right)-1\right)\cdot100\% \).
Jeżeli chcesz, mogę rozwiązać dodatkowe przykłady krok po kroku albo przygotować mini-ćwiczenia z odpowiedziami.
