Procenty i proporcje • lekcja 5 z 9

Wielokrotne zmiany procentowe

Dwa rabaty po 10% wyglądają jak rabat 20%. Sprawdzisz, dlaczego ta intuicja zawodzi i jak liczyć zmiany, gdy w każdym kroku aktualizuje się podstawa.

Na początek: Umiesz obliczać ceny po pojedynczej zmianie oraz procentową zmianę względem ceny początkowej.

Po każdej zmianie nowa podstawa

Przykład: dwa rabaty po 10%

1. Cena początkowa wynosi 200 zł. Pierwszy rabat to 20 zł, więc zostaje 180 zł.
2. Drugi rabat liczymy od 180 zł: 0,1 · 180 = 18 zł. Zostaje 162 zł.
3. Łączna oszczędność: 200 − 162 = 38 zł.
4. Względem początkowych 200 zł oszczędność stanowi 38 : 200 = 0,19 = 19%.

{"version":1,"elements":[{"type":"text","attrs":{"x":20,"y":27,"text-content":"Początek: 200 zł","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":40,"width":380,"height":30,"fill":"#1769D3","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"text","attrs":{"x":20,"y":119,"text-content":"Po pierwszym rabacie: 180 zł","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":132,"width":342,"height":30,"fill":"#1769D3","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"text","attrs":{"x":20,"y":211,"text-content":"Po drugim rabacie: 162 zł","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":224,"width":307.8,"height":30,"fill":"#1769D3","stroke":"#13233F","stroke-width":1}}]}

Na paskach widać dwie różne utracone kwoty: 20 zł, a potem 18 zł. Drugie 10% odnosi się do mniejszej ceny. Dlatego łączny rabat nie wynosi 20%.

Mnożnik opisuje to, co otrzymasz

Wzrost o p% opisuje mnożnik 1 + p : 100, a spadek o p% — mnożnik 1 − p : 100. Mnożnik stosujemy do wartości sprzed danego kroku. Przy zwykłych rabatach przyjmujemy 0 ≤ p ≤ 100.

Po obniżce o 10% zostaje 90%, czyli mnożymy przez 0,9. Dwa rabaty to 200 · 0,9 · 0,9 = 162 zł. Sam iloczyn 0,9 · 0,9 = 0,81 mówi, że pozostaje 81% wartości początkowej; zatem ubyło 19%.

Przykład: podwyżka i obniżka

Cena 150 zł wzrosła o 20%, a potem spadła o 20%. Po podwyżce: 150 · 1,2 = 180 zł. Po obniżce: 180 · 0,8 = 144 zł. Końcowo ubyło 6 zł, czyli 6 : 150 = 4%. Mnożniki potwierdzają: 1,2 · 0,8 = 0,96, a więc zostaje 96%.

Dodanie 20% i odjęcie 20% nie przywraca ceny początkowej, bo odejmowane 20% z 180 zł jest większą kwotą niż dodane 20% ze 150 zł. Procenty można dodawać jako udziały jednej podstawy, lecz nie jako kolejne zmiany różnych podstaw.

Jak naprawdę wrócić do początku?

Po obniżce o 20% cena 100 zł wynosi 80 zł. Potrzeba podwyżki o 20 zł, lecz te 20 zł porównujemy z aktualnymi 80 zł: 20 : 80 = 25%. Sprawdź: 80 · 1,25 = 100. Odwróceniem mnożenia przez 0,8 jest dzielenie przez 0,8, czyli mnożenie przez 1,25.

Kolejność tych samych mnożników nie zmienia wyniku końcowego, jeśli nie ma opłat dodatkowych ani zaokrąglania w trakcie: 1,2 · 0,8 = 0,8 · 1,2. Kwoty pośrednie będą jednak inne. W zadaniach zachowuj pełną dokładność; do groszy zaokrąglaj zgodnie z poleceniem, a nie automatycznie po każdym pomocniczym rachunku.

Teraz sprawdź swoje rozumienie

Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Najważniejsze zależności

Kolejne zmiany wymagają kolejnych mnożeń. O łącznej zmianie decyduje iloczyn mnożników i porównanie wyniku z wartością początkową.