Wielokrotne zmiany procentowe (kilka razy z rzędu)

Misja

Wyobraź sobie metkę: „+20%”, potem „+10%”, a na koniec „−10%”. Na egzaminie trzeba wiedzieć jedno: każdy procent działa na aktualną wartość, nie na start. Dlatego zamiast dodawać procenty, używasz współczynników i mnożysz.

Cel

• Zamienisz zmianę \(p\%\) na współczynnik.
• Policzysz wartość po kilku zmianach.
• Policzysz łączną zmianę procentową względem startu.
• Wyjaśnisz, czemu „+\(p\%\) i −\(p\%\)” nie znosi się.

Wyjaśnienie

• Podwyżka o \(p\%\): mnożysz przez \(1+\frac{p}{100}\).
• Obniżka o \(p\%\): mnożysz przez \(1-\frac{p}{100}\).

Po kilku zmianach:

Łączny procent względem startu:

Przykład 1 (krok po kroku)

100 zł, potem +20%, potem +10%.

1. Po +20%: \(100\cdot 1{,}20=120\) zł.
2. Po +10% (od 120): \(120\cdot 1{,}10=132\) zł.
3. Współczynnik łączny: \(1{,}20\cdot 1{,}10=1{,}32\), czyli wzrost o \(32\%\).

Przykład 2 (krok po kroku)

Najpierw +20%, potem −20% (czy wraca do startu?).

1. Współczynniki: \(1{,}20\) i \(0{,}80\).
2. Iloczyn: \(1{,}20\cdot 0{,}80=0{,}96\).
3. Wniosek: spadek o \(4\%\) (np. 100 zł → 96 zł). Nie wraca.

Pułapka

• Dodawanie procentów: \(+20\%\) i \(+10\%\) to nie „+30%” (dokładnie jest \(1{,}20\cdot 1{,}10=1{,}32\)).
• Myślenie: „+\(p\%\) i −\(p\%\) się kasują”: nie, bo baza w drugim kroku jest inna.
• Liczenie obniżki jak podwyżki: przy −\(p\%\) ma być \(1-\frac{p}{100}\), nie \(1+\frac{p}{100}\).

Sprawdź się

1. Cena 200 zł: najpierw −15%, potem −10%. Ile wynosi po zmianach?
2. Wartość 80: +25%, potem −10%. Jaka wartość końcowa?
3. Najpierw +30%, potem −30%. Jaki jest łączny procent zmiany?
4. Współczynniki: \(1{,}05\), \(0{,}90\), \(1{,}10\). Jaki jest współczynnik końcowy?