Procenty i proporcje • lekcja 4 z 9

Obliczanie, ile procent jedna liczba stanowi drugiej

Wynik 21 punktów nie zawsze jest lepszym udziałem niż 18 punktów. Wszystko zależy od tego, ile punktów można było zdobyć. Nauczysz się świadomie wybierać mianownik porównania.

Na początek: Potrafisz dzielić liczby i zamieniać ułamki na procenty. Wiesz, że procent zawsze odnosi się do podstawy.

Porównujemy udziały, nie same liczby

Ada zdobyła 18 punktów z 24, a Bartek 21 z 30. Podstawą Ady są 24 punkty, Bartka — 30. Ada uzyskała 18/24 = 3/4 = 75%, a Bartek 21/30 = 7/10 = 70%. Ada zdobyła większy procent dostępnych punktów. Nie wynika z tego, że jej test był trudniejszy: porównujemy wyłącznie udziały.

{"version":1,"elements":[{"type":"text","attrs":{"x":20,"y":27,"text-content":"Ada: 18 z 24 = 75%","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":40,"width":380,"height":30,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":40,"width":285,"height":30,"fill":"#1769D3","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"text","attrs":{"x":20,"y":119,"text-content":"Bartek: 21 z 30 = 70%","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":132,"width":380,"height":30,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":132,"width":266,"height":30,"fill":"#1769D3","stroke":"#13233F","stroke-width":1}}]}

Podziel porównywaną wartość a przez podstawę b, a następnie zapisz iloraz procentowo: (a : b) · 100%. Podstawa b musi być niezerowa; w tych zadaniach jest dodatnia. Porównywane wielkości zapisuj w zgodnych jednostkach.

Przykład: 45 jako część 60

1. Pytanie brzmi: jaki procent liczby 60 stanowi 45? Zatem 60 to 100%.
2. Obliczamy 45 : 60 = 0,75.
3. Zamieniamy na procent: 0,75 = 75%.
4. Sprawdzamy: 0,75 · 60 = 45.

Odwrócenie dzielenia zmienia pytanie. Na przykład 30 stanowi 50% liczby 60, ale 60 stanowi 200% liczby 30. Wynik ponad 100% jest możliwy, jeśli porównywana wartość przekracza podstawę. Nie porównujemy procentowo z zerową podstawą.

„Stanowi 125%” nie oznacza „wzrosło o 125%”

Przykład: cena od 80 zł do 100 zł

Nowa cena jako udział starej: 100 : 80 = 1,25 = 125%. Wzrost to jednak tylko różnica 100 − 80 = 20 zł. Względem ceny początkowej 20 : 80 = 0,25 = 25%. Cena wzrosła o 25%, a stanowi 125% starej ceny.

Dla spadku z 100 zł do 80 zł różnica również wynosi 20 zł, lecz podstawą jest 100 zł. Spadek wynosi więc 20 : 100 = 20%. Identyczne różnice kwot nie gwarantują identycznych zmian procentowych. Przy pytaniu „o ile procent?” najpierw oblicz różnicę, a potem odnieś ją do wartości początkowej.

Gdy dane już są procentami

Udział uczniów dojeżdżających rowerem wzrósł z 20% do 30%. Różnica 30% − 20% to 10 punktów procentowych (10 p.p.). Względny wzrost udziału wynosi natomiast (30 − 20) : 20 = 0,5 = 50%. Pierwsza odpowiedź mówi o różnicy udziałów, druga o porównaniu przyrostu ze starym udziałem. Nie stosuj tych nazw zamiennie.

Przed obliczeniem dopowiedz zdanie: „Za 100% przyjmuję…”. To najprostsza ochrona przed dobrym rachunkiem wykonanym dla niewłaściwego pytania.

Teraz sprawdź swoje rozumienie

Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Najważniejsze zależności

Udział: wartość : podstawa. Zmiana procentowa: różnica : wartość początkowa. Różnicę dwóch udziałów procentowych nazywamy zmianą w punktach procentowych.