Obliczanie liczby, gdy znany jest procentowy udział

Misja

Masz „kawałek” i wiesz, jaki to procent całości — teraz trzeba odtworzyć całość. To typowy schemat zadań: rabaty, wyniki, frekwencja, porównania. Twoja misja: ustawić jedno równanie i rozwiązać je bez paniki.

Cel

• Zapisać sytuację równaniem \(a=\frac{p}{100}\cdot b\).
• Wyprowadzić i stosować wzór \(b=a\cdot\frac{100}{p}\).
• Rozumieć, że \(p\) może być większe niż \(100\) (np. \(120\%\)).
• Nie popełnić błędu z dzieleniem przez zero (\(p=0\)).

Wyjaśnienie

1) Najpierw zapis matematyczny

Jeśli \(a\) stanowi \(p\%\) liczby \(b\), to:

\[ a = \frac{p}{100}\cdot b. \]

2) Przekształcenie: jak znaleźć \(b\)

Dzielimy przez \(\frac{p}{100}\) (czyli mnożymy przez odwrotność):

\[ b = a \cdot \frac{100}{p}. \]

3) Procedura w 4 krokach

1. Ustal, co jest \(a\) (część), co jest \(p\%\) i czego szukasz (\(b\)).
2. Zapisz: \(a=\frac{p}{100}\cdot b\).
3. Przekształć do: \(b=a\cdot\frac{100}{p}\).
4. Podstaw liczby i policz.

Przykłady (krok po kroku)

Przykład 1: \(25\) to \(20\%\) pewnej liczby

1. Równanie: \(25=\frac{20}{100}\cdot b\).
2. Wzór: \(b=25\cdot\frac{100}{20}\).
3. Obliczenie: \(b=25\cdot 5=125\).

Wynik: \(b=125\).

Przykład 2: \(60\) to \(120\%\) pewnej wartości

1. Tu \(p=120\) (procent może być > \(100\)).
2. \(b=60\cdot\frac{100}{120}=60\cdot\frac{5}{6}=50\).

Wynik: \(b=50\).

Pułapka egzaminacyjna

• \(p=0\) to wyjątek. Wzór \(b=a\cdot\frac{100}{p}\) nie działa (dzielenie przez zero). Jeśli \(0\%\) z \(b\) daje \(a\), to jedyna możliwość to \(a=0\).
• Nie zamieniaj ról. Gdy szukasz całości, nie licz \(a\cdot\frac{p}{100}\) — wtedy znowu liczysz część.

Sprawdź się

1. \(40\) to \(25\%\) pewnej liczby. Jaka to liczba?
2. \(7{,}5\) stanowi \(15\%\) pewnej wielkości. Jaka to wielkość?
3. \(18\) to \(6\%\) pewnej liczby. Jaka to liczba?
4. \(96\) to \(80\%\) pewnej wartości. Jaka to wartość?