Procenty i proporcje • lekcja 3 z 9
Obliczanie liczby, gdy dany jest procent
Osiemnastu uczniów stanowi 30% uczestników wyjazdu. Nie znamy liczby uczestników, ale znamy wartość części. Tym razem trzeba odwrócić obliczenie procentu.
Po tej lekcji: odtworzysz podstawę na podstawie wartości jej procentu, również wtedy, gdy znasz cenę po zmianie.Na początek: Potrafisz obliczyć procent liczby i rozumiesz, że po obniżce o 20% pozostaje 80% ceny.
Znana część nie jest całością
18 uczniów to 30% uczestników. Zapisz najpierw role: część to 18 osób, udział to 30%, a 100% — nieznana liczba wszystkich uczestników. Całość powinna być większa od 18, ponieważ 30% jest mniejsze od 100%.
{"version":1,"elements":[{"type":"text","attrs":{"x":20,"y":30,"text-content":"30% = 18 osób","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":60,"width":38,"height":50,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"rect","attrs":{"x":58,"y":60,"width":38,"height":50,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"rect","attrs":{"x":96,"y":60,"width":38,"height":50,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"rect","attrs":{"x":134,"y":60,"width":38,"height":50,"fill":"#FFFFFF","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"rect","attrs":{"x":172,"y":60,"width":38,"height":50,"fill":"#FFFFFF","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"rect","attrs":{"x":210,"y":60,"width":38,"height":50,"fill":"#FFFFFF","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"rect","attrs":{"x":248,"y":60,"width":38,"height":50,"fill":"#FFFFFF","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"rect","attrs":{"x":286,"y":60,"width":38,"height":50,"fill":"#FFFFFF","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"rect","attrs":{"x":324,"y":60,"width":38,"height":50,"fill":"#FFFFFF","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"rect","attrs":{"x":362,"y":60,"width":38,"height":50,"fill":"#FFFFFF","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"text","attrs":{"x":20,"y":151,"text-content":"10% = 6 osób","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":20,"y":196,"text-content":"100% = 60 osób","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}}]}
Przykład: droga przez 10% i 1%
- 30% to 18 osób, więc 10% to 18 : 3 = 6 osób.
- 100% jest dziesięć razy większe od 10%, zatem uczestników jest 6 · 10 = 60.
- Można też obliczyć 1%: 18 : 30 = 0,6. Wtedy 100% to 0,6 · 100 = 60.
- Sprawdź: 0,30 · 60 = 18. Wynik odtwarza dane zadania.
Wartość 1% może być ułamkiem osoby. To pomocnicza wartość rachunkowa, nie rzeczywista grupa 0,6 osoby. W zadaniu o osobach końcowa liczebność musi być całkowita.
Dlaczego dzielenie?
Odwrócenie mnożenia.Jeśli a jest wartością p% podstawy b, to (p : 100) · b = a. Dla p ≠ 0 otrzymujemy b = a : (p : 100). Litery a, p, b opisują odpowiednio znaną wartość, liczbę procentów i szukaną podstawę.
Dla uczestników równanie ma postać 0,3 · b = 18. Dzielimy obie strony przez 0,3: b = 18 : 0,3 = 60. Obliczenie 0,3 · 18 dałoby 5,4, czyli 30% już znanej części — odpowiedź na inne pytanie.
Po obniżce znamy pozostałą część
Przykład: buty po rabacie
Po obniżce o 20% buty kosztują 144 zł. Pozostaje 80% starej ceny. Jeśli b oznacza starą cenę, to 0,8 · b = 144. Stąd b = 144 : 0,8 = 180 zł. Kontrola: 20% ze 180 to 36 zł, a 180 − 36 = 144 zł.
Nie dziel przez 0,2: kwota 144 zł nie jest rabatem. Nie dodawaj też 20% ze 144, ponieważ procent obniżki odnosił się do starej ceny. Analogicznie po podwyżce o 25% cena 100 zł stanowi 125% starej ceny: 100 : 1,25 = 80 zł.
Podstawa nie zawsze jest większa
Jeśli 90 stanowi 150% podstawy, to podstawa wynosi 90 : 1,5 = 60. Jest mniejsza od 90, bo znana wartość przekracza 100% podstawy. Natomiast z informacji „0 to 0% pewnej liczby” nie odtworzysz jednej liczby: każda pasuje. To powód warunku p ≠ 0; nie wolno dzielić przez zero.
Teraz sprawdź swoje rozumienie
Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.
Zadanie 1
Wskazówka
Całość ma cztery ćwiartki.
Rozwiązanie i kontrola
24 · 4 = 96. Kontrola: 0,25 · 96 = 24.
Zadanie 2
Wskazówka
12 : 8 daje wartość 1%.
Rozwiązanie i kontrola
1% to 1,5, a 100% to 150. Kontrola: 0,08 · 150 = 12.
Zadanie 3
Wskazówka
105 zł to 70%, nie 30%.
Rozwiązanie i kontrola
105 : 0,7 = 150 zł. Rabat 45 zł po odjęciu od 150 daje 105 zł.
Zadanie 4
Wskazówka
72 zł stanowi 120% starej ceny.
Rozwiązanie i kontrola
72 : 1,2 = 60 zł. Dodanie 12 zł, czyli 20% z 60, daje 72 zł.
Zadanie 5
Wskazówka
Tym razem znana kwota to sam rabat.
Rozwiązanie i kontrola
27 : 0,15 = 180 zł przed zmianą. Po zmianie 180 − 27 = 153 zł.
Zadanie 6
Wskazówka
140% przekracza całą podstawę.
Rozwiązanie i kontrola
Nie. 84 : 1,4 = 60. Sprawdzenie: 1,4 · 60 = 84.
Najważniejsze zależności
Nazwij procent odpowiadający znanej wartości. Potem dziel przez jego zapis ułamkowy i sprawdź wynik przez ponowne obliczenie procentu.
