Obliczanie liczby, gdy znany jest procentowy udział

Czasem mamy wartość \(a\), która stanowi \(p\%\) pewnej liczby \(b\), i chcemy znaleźć właśnie tę liczbę początkową \(b\). Mówimy wtedy, że \(a\) to \(p\%\) z \(b\). To zapisujemy równaniem:

Tutaj \(\frac{p}{100}\) to typowy zapis procentu jako ułamka (na przykład \(20\%\) to \(\frac{20}{100}=0{,}2\)).

Przekształcenie wzoru — jak znaleźć \(b\)

Aby obliczyć \(b\), przekształcamy równanie względem \(b\). Dzielimy obie strony przez \(\frac{p}{100}\):

Inaczej: mnożymy wartość \(a\) przez odwrotność procentu wyrażonego jako ułamek.

Krótka interpretacja: jeżeli \(a\) to \(p\%\) z \(b\), to \(b\) jest \(100/p\)-krotnością \(a\).

Krok po kroku (procedura)

1. Zamień procent \(p\%\) na ułamek dziesiętny: \(p\% = \frac{p}{100}\).
2. Ustal równanie \(a = \frac{p}{100}\cdot b\).
3. Przekształć, aby dostać \(b\): \(b = a \cdot \frac{100}{p}\).
4. Podstaw liczby i oblicz wynik.

Przykład szczegółowy

Mamy: 25 stanowi 20% pewnej liczby. Jakiej?

1. Zapisujemy równanie: \(25 = \frac{20}{100}\cdot b\).
2. Upraszczamy \(\frac{20}{100}=0{,}2\), więc \(25 = 0{,}2\cdot b\).
3. Dzielimy przez \(0{,}2\) lub mnożymy przez \(\frac{100}{20}=5\):

Odpowiedź: liczba początkowa wynosi 125.

Kilka dodatkowych uwag i skrótów

• Zamiast mnożyć przez \(\frac{100}{p}\) możesz podzielić przez \(\frac{p}{100}\) lub przez odpowiadającą wartość dziesiętną (np. zamiast mnożyć przez \(\frac{100}{20}\) można podzielić przez \(0{,}2\)).
• Jeśli \(p=0\), równanie \(a = 0\cdot b\) oznacza, że \(a\) musi być \(0\). Dla \(p=0\) nie możemy zastosować wzoru \(b = a\cdot \frac{100}{p}\) (dzielenie przez zero).
• Dopuszczalne są także wartości \(p>100\) (np. "150% z czegoś") oraz ujemne procenty; wzór działa algebraicznie również wtedy, ale interpretacja zależy od kontekstu (np. wzrost o więcej niż 100%).

Kilka krótkich zadań do ćwiczeń (z odpowiedziami)

1. 40 to 25% pewnej liczby. Jaka to liczba?
   Rozwiązanie: \(b = 40\cdot \frac{100}{25} = 40\cdot 4 = 160\).
2. 7,5 stanowi 15% pewnej wielkości. Jaka to wielkość?
   Rozwiązanie: \(b = 7{,}5\cdot \frac{100}{15} = 7{,}5\cdot \frac{20}{3} = 50\).
3. 60 to 120% pewnej wartości. Jaka jest wartość?
   Rozwiązanie: \(b = 60\cdot \frac{100}{120} = 60\cdot \frac{5}{6} = 50\).

Podsumowując: aby znaleźć liczbę, z której dana wartość jest określonym procentem, zamieniamy procent na ułamek, zapisujemy równanie i przekształcamy je, otrzymując prosty wzór

Używając tego schematu można szybko i pewnie rozwiązywać zadania procentowe.