Proste zliczanie i podstawy prawdopodobieństwa

Cele lekcji

• Zrozumieć, czym jest doświadczenie losowe, wynik i zdarzenie.
• Nauczyć się porządkować i wypisywać wszystkie możliwe wyniki (tabelka, drzewko).
• Poznać najprostszy model prawdopodobieństwa (równomierne prawdopodobieństwo wyników) oraz umieć obliczyć prawdopodobieństwo przez zliczanie.
• Rozwiązywać typowe zadania metodą wypisywania wszystkich możliwości (bez stosowania reguł mnożenia/dodawania jako oddzielnych wzorów).

1. Doświadczenia losowe — podstawowe pojęcia

• Doświadczenie losowe — sytuacja, w której wynik nie jest pewny przed jej wykonaniem (np. rzut monetą, rzut kostką, losowanie kuli z urny).
• Wynik — pojedynczy rezultat doświadczenia (np. „orzeł” przy rzucie monetą, „6” przy rzucie kostką).
• Zdarzenie — zbiór wyników, które nas interesują (np. „wypadnie liczba parzysta”, „wylosujemy czerwoną kulę”).

Przykłady doświadczeń: rzut monetą, rzut kostką sześcienną, losowanie jednej kuli z urny zawierającej kule różnych kolorów.

2. Porządkowanie wyników — wypisywanie możliwości

Zanim policzymy prawdopodobieństwo, wypisujemy wszystkie możliwe wyniki doświadczenia. To najprostsza i przejrzysta metoda „bez wzorów”.

Sposoby:

• Tabela — gdy mamy kilka niezależnych wyborów (np. kanapka + napój), można utworzyć tabelę z wszystkimi kombinacjami.
• Drzewko — rysujemy gałęzie dla każdego kroku wyboru i odczytujemy końcowe kombinacje.

Przykład: wybór kanapki i napoju
Załóżmy: kanapki = {Ser, Szynka, Warzywna}, napoje = {Woda, Sok}. Wypisujemy wszystkie pary:

Ser + Woda
Ser + Sok
Szynka + Woda
Szynka + Sok
Warzywna + Woda
Warzywna + Sok

Łącznie 6 możliwych wyników. Jeśli interesuje nas zdarzenie „wybór kanapki Ser i soku”, to jest 1 wynik sprzyjający spośród 6.

Drzewko (tekstowo):

Kanapka: Ser
  ├ Woda  -> Ser + Woda
  └ Sok   -> Ser + Sok
Kanapka: Szynka
  ├ Woda  -> Szynka + Woda
  └ Sok   -> Szynka + Sok
Kanapka: Warzywna
  ├ Woda  -> Warzywna + Woda
  └ Sok   -> Warzywna + Sok

3. Najprostszy model prawdopodobieństwa (wyniki jednakowo możliwe)

Jeżeli wszystkie możliwe wyniki doświadczenia są równie prawdopodobne, to dla zdarzenia \(A\) prawdopodobieństwo obliczamy jako stosunek liczby wyników sprzyjających do liczby wszystkich wyników. Formalnie:

\[ P(A)=\frac{\text{liczba wyników sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich wyników}}. \]

Wyjaśnienie krok po kroku:

1. Wypisz wszystkie możliwe wyniki doświadczenia (upewnij się, że każdy wynik traktujesz jako odrębny przypadek).
2. Zaznacz, które z tych wyników należą do zdarzenia \(A\) (to są wyniki sprzyjające).
3. Oblicz stosunek: (liczba wyników sprzyjających) ÷ (liczba wszystkich wyników). To jest \(P(A)\).

Uwaga: ten model działa wtedy, gdy każdy wypisany wynik ma taką samą szansę zajścia (np. uczciwa moneta, uczciwa kostka).

4. Krótkie przykłady krok po kroku

Przykład A — rzut uczciwą monetą

• Możliwe wyniki: {Orzeł, Reszka} — 2 wyniki.
• Zdarzenie \(A\): „wypadnie Orzeł” — 1 wynik sprzyjający.
• Prawdopodobieństwo: \(P(A)=\frac{1}{2}\).

Przykład B — rzut dwiema uczciwymi monetami

1. Wypisz wszystkie wyniki: {HH, HT, TH, TT} (H = orzeł, T = reszka) — 4 wyniki.
2. Zdarzenie \(B\): „dokładnie jedna reszka” — wyniki sprzyjające: {HT, TH} — 2 wyniki.
3. Prawdopodobieństwo: \(P(B)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\).

Przykład C — losowanie kuli z urny

• Urna zawiera 5 czerwonych i 3 niebieskie kule (razem 8).
• Zdarzenie \(C\): „wylosujemy czerwoną kulę”.
• Liczba wyników sprzyjających = 5, liczba wszystkich wyników = 8.
• Prawdopodobieństwo: \(P(C)=\frac{5}{8}\).

Przykład D — jeszcze raz kanapka + napój

• Wszystkie pary (6 wyników) wypisane wyżej.
• Zdarzenie \(D\): „wybrano Kanapkę Ser i Wodę” — 1 sprzyjający wynik.
• \(P(D)=\frac{1}{6}\).

5. Typowe zadania i wskazówki

• „Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli?” — wypisz ile jest czerwonych i ile wszystkich, potem zastosuj wzór.
• „Ile jest możliwych wyników przy rzucie dwiema monetami?” — wypisz wszystkie kombinacje (HH, HT, TH, TT).
• Zawsze sprawdź, czy wszystkie wypisane wyniki są traktowane jako jednakowo możliwe; jeśli nie — model równomierny nie będzie odpowiedni i trzeba inaczej rozważać zadanie (to poza zakresem tej lekcji).

Praktyczna rada: gdy ilość możliwości jest niewielka (np. do kilkunastu), zawsze wypisuj wszystkie wyniki — to najmniej podatna na błędy metoda.

6. Krótkie ćwiczenia dla uczniów

1. Rzut jedną uczciwą kostką: jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej? (Kroki: wypisz wyniki, wybierz sprzyjające, policz stosunek.)
2. Z urny: 2 zielone, 4 żółte, 4 czerwone kule. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli nieczerwonej?
3. W sklepie: 2 rodzaje kanapek, 3 rodzaje napojów. Wypisz wszystkie kombinacje i policz prawdopodobieństwo wybrania konkretnej pary.

Powodzenia — pamiętaj: najpierw wypisuj, potem licz!