Statystyka i prawdopodobieństwo • lekcja 9 z 9
9. Wstęp do kombinatoryki i prawdopodobieństwa – proste zliczanie i losowość
Trzy kanapki i dwa napoje dają sześć zestawów, nie pięć. Uporządkowane zliczanie pomoże potem obliczać szanse — gdy wszystkie wyniki mają równe prawdopodobieństwo.
Po tej lekcji: zliczysz proste możliwości i obliczysz prawdopodobieństwo w modelu równych szans.Na początek: mnożysz liczby naturalne i skracasz ułamki; 1/2 oznacza połowę.
Policz kompletne zestawy
Wybierasz jedną z kanapek: ser, szynka, warzywa, oraz jeden z napojów: woda, sok. Do każdej kanapki pasują oba napoje. Możliwości to: ser–woda, ser–sok, szynka–woda, szynka–sok, warzywa–woda, warzywa–sok. Jest 3 · 2 = 6 zestawów. Suma 3 + 2 policzyłaby produkty do wyboru, nie zestawy.
Reguła mnożenia: jeśli do każdego z pierwszych wyborów pasuje ta sama liczba drugich wyborów, liczby wyborów mnożymy. Przy ograniczeniach sprawdź, które pary są naprawdę dozwolone.Co jest wynikiem, a co zdarzeniem?
Doświadczenie losowe ma wynik, którego nie znamy z pewnością przed wykonaniem. W rzucie kostką jednym wynikiem jest 4. Zdarzenie „liczba parzysta” obejmuje wyniki 2, 4, 6.
Jeśli wszystkie możliwe wyniki mają jednakowe szanse, prawdopodobieństwo zdarzenia to liczba wyników sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich wyników. Oznaczamy je literą P. Wartość leży od 0 do 1.Dla symetrycznej sześciennej kostki wyniki to 1, 2, 3, 4, 5, 6. Parzyste są trzy, więc P = 3/6 = 1/2 = 50%. Wyrzucenie 8 jest niemożliwe: P = 0/6 = 0. Wynik mniejszy od 7 jest pewny: P = 6/6 = 1.
Dwa rzuty: pilnuj kolejności
Rzucamy symetryczną monetą dwa razy, niezależnie: wynik pierwszego rzutu nie zmienia szans drugiego. O oznacza orła, R reszkę. Pierwsza litera opisuje pierwszy rzut. Są cztery jednakowo prawdopodobne wyniki: OO, OR, RO, RR.
{"version":1,"elements":[{"type":"text","attrs":{"x":20,"y":28,"text-content":"Pierwsza litera: pierwszy rzut","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":55,"width":180,"height":95,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"text","attrs":{"x":82,"y":93,"text-content":"OO","font-size":26,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":43,"y":130,"text-content":"0 reszek","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":220,"y":55,"width":180,"height":95,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"text","attrs":{"x":282,"y":93,"text-content":"OR","font-size":26,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":243,"y":130,"text-content":"1 reszka","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":170,"width":180,"height":95,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"text","attrs":{"x":82,"y":208,"text-content":"RO","font-size":26,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":43,"y":245,"text-content":"1 reszka","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":220,"y":170,"width":180,"height":95,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"text","attrs":{"x":282,"y":208,"text-content":"RR","font-size":26,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"text","attrs":{"x":243,"y":245,"text-content":"2 reszki","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}}]}
Dokładnie jedna reszka występuje w OR i RO: P = 2/4 = 1/2. „0 reszek”, „1 reszka”, „2 reszki” to tylko trzy grupy wyników, nie trzy jednakowo prawdopodobne wyniki. Środkowa grupa zawiera dwa przypadki, pozostałe po jednym.
Kolory nie muszą mieć równych szans
W worku są 5 czerwonych i 3 niebieskie jednakowe kule. Losujemy jedną po wymieszaniu, każda kula ma równą szansę. Liczymy kule: czerwonych jest 5 z 8, więc P = 5/8. Nie dzielimy przez dwa kolory. Kolorów jest tyle samo rodzajów, lecz kul nie jest po równo.
Samo słowo „losowo” nie wystarcza, by uznać wszystkie opisane kategorie za jednakowo prawdopodobne. Sprawdź model. Również wybieranie ulubionego zestawu obiadowego nie daje automatycznie równych szans wszystkim zestawom.Po trzech reszkach orzeł nie staje się obowiązkowy. Przy kolejnym niezależnym rzucie symetryczną monetą ma nadal szansę 1/2. Prawdopodobieństwo opisuje szansę, nie gwarantuje wyrównania krótkiej serii.
Teraz sprawdź swoje rozumienie
Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.
Zadanie 1
Wskazówka
Policz po trzy zestawy dla każdej kanapki.
Rozwiązanie i kontrola
2 · 3 = 6. Bez opisu sposobu wyboru nie wiemy, czy zestawy mają równe szanse.
Zadanie 2
Wskazówka
Wypisz sprzyjające liczby.
Rozwiązanie i kontrola
Sprzyjają 5 i 6. P = 2/6 = 1/3.
Zadanie 3
Wskazówka
Policz oba pozostałe kolory.
Rozwiązanie i kontrola
Nieczerwonych jest 2 + 4 = 6; wszystkich 10. P = 6/10 = 3/5.
Zadanie 4
Wskazówka
Wyklucz tylko wynik bez reszki.
Rozwiązanie i kontrola
Sprzyjają OR, RO, RR. P = 3/4. „Co najmniej jedna” obejmuje także dwie reszki.
Zadanie 5
Wskazówka
Po wyborze pierwszej cyfry pozostają dwie.
Rozwiązanie i kontrola
12, 13, 21, 23, 31, 32 — razem 3 · 2 = 6. Nie 3 · 3, ponieważ nie wolno powtórzyć cyfry.
Zadanie 6
Wskazówka
Czy wcześniejsze wyniki zmieniają monetę lub model?
Rozwiązanie i kontrola
Nie. Szansa reszki nadal wynosi 1/2. Wcześniejsze wyniki nie wymuszają następnego.
Najważniejsze zależności
Najpierw opisz i zlicz wyniki bez pominięć. Dopiero po sprawdzeniu równych szans stosuj iloraz „sprzyjające / wszystkie”. Kolejność i ograniczenia mogą zmienić liczbę możliwości.
