Statystyka i prawdopodobieństwo • lekcja 8 z 9
8. Średnia arytmetyczna – sens, obliczanie, zadania odwrotne
Trzy zespoły mają 2, 4 i 6 punktów. Po przeniesieniu dwóch punktów z trzeciego do pierwszego każdy miałby 4. Średnia opisuje właśnie taki poziom wyrównania.
Po tej lekcji: obliczysz średnią, odtworzysz brakujący wynik i połączysz dane grup o różnych liczebnościach.Na początek: dodajesz, mnożysz i dzielisz liczby, także dziesiętne.
Wyrównujemy bez zmiany sumy
{"version":1,"elements":[{"type":"text","attrs":{"x":15,"y":25,"text-content":"Po wyrównaniu: 12 : 3 = 4","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":45,"y1":250,"x2":395,"y2":250,"stroke":"#8A919B","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":15,"y":257,"text-content":"0","font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":45,"y1":190,"x2":395,"y2":190,"stroke":"#8A919B","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":15,"y":197,"text-content":"2","font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":45,"y1":130,"x2":395,"y2":130,"stroke":"#8A919B","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":15,"y":137,"text-content":"4","font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":45,"y1":70,"x2":395,"y2":70,"stroke":"#8A919B","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":15,"y":77,"text-content":"6","font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":70,"y":190,"width":65,"height":60,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"text","attrs":{"x":92,"y":285,"text-content":"2","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":185,"y":130,"width":65,"height":120,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"text","attrs":{"x":207,"y":285,"text-content":"4","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"rect","attrs":{"x":300,"y":70,"width":65,"height":180,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1}},{"type":"text","attrs":{"x":322,"y":285,"text-content":"6","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F"}},{"type":"line","attrs":{"x1":45,"y1":130,"x2":395,"y2":130,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2,"stroke-dasharray":"7 5"}}]}
Dla 2, 4, 6 suma wynosi 12, a wyników jest 3. Średnia to 12 : 3 = 4. Nie dzielimy przez największy wynik ani przez liczbę różnych wartości.
Przykład z powtórzeniami
Wyniki to 4, 5, 3, 5. Dodajemy wszystkie: 4 + 5 + 3 + 5 = 17. Są cztery obserwacje, więc średnia to 17 : 4 = 4,25. Piątka wystąpiła dwukrotnie i obie piątki się liczą. Średnia nie musi występować na liście.
Ze średniej wróć do sumy
Jeśli pięć wyników ma średnią 6, ich suma musi wynosić 5 · 6 = 30. Ta zależność działa, bo dzielenie sumy przez liczbę wyników odwracamy mnożeniem.
Przykład odwrotny
- Średnia pięciu wyników to 6, a znane wyniki: 4, 7, 5, 8.
- Potrzebna suma: 5 · 6 = 30.
- Znana suma: 4 + 7 + 5 + 8 = 24.
- Brakujący wynik: 30 − 24 = 6.
- Kontrola: (4 + 7 + 5 + 8 + 6) : 5 = 6.
Zero, brak i liczebność grup
W trzech dniach wypożyczono 0, 3, 6 książek. Średnia dzienna to 9 : 3 = 3. Zero oznacza dzień bez wypożyczeń i nadal liczy się do liczby dni. Jeśli dla jednego dnia brakuje danych, nie wpisuj zamiast tego zera; możesz policzyć średnią wyłącznie ze znanych dni i wyraźnie to zaznaczyć.
Dwie osoby uzyskały średnio 5 punktów, a osiem osób średnio 10. Sumy grup to 2 · 5 = 10 oraz 8 · 10 = 80. Całość daje 90 punktów dla 10 osób, czyli średnią 9. Średnia z 5 i 10, równa 7,5, byłaby błędna: grupy nie są jednakowo liczne.
Jak skontrolować wynik?
Średnia leży między najmniejszą a największą wartością, z możliwością równości. Dla 10, 12, 15, 13 wynik 25 jest niemożliwy. Nie wystarczy jednak zmienić go na dowolną liczbę w tym przedziale — trzeba ponownie obliczyć sumę i dzielenie.Zestawy 4, 4, 4 oraz 0, 0, 12 mają średnią 4, ale zupełnie inny rozkład wyników. Jedna średnia nie mówi, czy wyniki są do siebie podobne. Nie oznacza też, że większość osób uzyskała dokładnie średnią.
Teraz sprawdź swoje rozumienie
Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.
Zadanie 1
Wskazówka
Suma ma cztery składniki.
Rozwiązanie i kontrola
Suma 50; średnia 50 : 4 = 12,5. Leży między 10 i 15.
Zadanie 2
Wskazówka
Najpierw suma wszystkich czterech.
Rozwiązanie i kontrola
4 · 9 = 36; znana suma 25. Brakująca liczba 36 − 25 = 11. Kontrola: (8 + 10 + 7 + 11) : 4 = 9.
Zadanie 3
Wskazówka
Oblicz sumę 3 · 5,8.
Rozwiązanie i kontrola
Potrzebna suma 17,4; znane wyniki dają 11,5. Trzeci pomiar: 17,4 − 11,5 = 5,9°C.
Zadanie 4
Wskazówka
Odtwórz sumę każdej grupy.
Rozwiązanie i kontrola
3 · 4 + 2 · 9 = 12 + 18 = 30. Średnia: 30 : 5 = 6 punktów.
Zadanie 5
Wskazówka
Każdy zestaw musi mieć sumę 15.
Rozwiązanie i kontrola
Np. 2, 5, 8 oraz 0, 6, 9. W obu suma to 15 i średnia 5, lecz poszczególne wyniki są inne.
Zadanie 6
Wskazówka
Zera nie zwiększają sumy, ale są obserwacjami.
Rozwiązanie i kontrola
Nie. Suma wynosi 12, obserwacji jest 4. Średnia 12 : 4 = 3.
Najważniejsze zależności
Średnia = suma : liczba wyników. W zadaniu odwrotnym suma = średnia · liczba wyników. Licz powtórzenia i zera; grupy łącz przez sumy, nie przez bezwarunkowe uśrednianie średnich.
