8. Średnia arytmetyczna – sens, obliczanie, zadania odwrotne
Misja
Masz kilka wyników (oceny, temperatury, czasy) i ktoś pyta: „Jaka jest średnia?”. Na egzaminie to często znaczy też: „Uzupełnij brakujący wynik, skoro średnia ma wyjść taka i taka”. Twoja misja: myśleć o średniej jako o „po równo” i umieć przechodzić od średniej do sumy (i odwrotnie).
Cel
- Rozumiesz sens średniej: „po równo”.
- Obliczasz średnią z liczb naturalnych i dziesiętnych.
- Rozwiązujesz zadania odwrotne: suma z \(n\) i \(\bar{x}\), brakujący wynik.
- Unikasz typowych pułapek (złe \(n\), jednostki, wartości odstające).
Wyjaśnienie
Sens średniej
Średnia arytmetyczna to taka liczba, jaką miałby każdy wynik, gdybyśmy „rozłożyli sumę po równo” na wszystkie elementy.
Wzór
Dla \(n\) liczb \(x_1, x_2, \dots, x_n\):
\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \]Zadania odwrotne (bardzo egzaminacyjne)
- Jeśli znasz \(\bar{x}\) i \(n\), to suma \(S\) wynosi: \(S=n\cdot \bar{x}\).
- Jeśli brakuje jednego wyniku: \(x_{\text{brak}}=n\cdot\bar{x}-\sum x_i\) (sumujesz znane).
Przykłady krok po kroku
Przykład 1: średnia ocen
Dane: 4, 5, 3, 5.
- Suma: \(4+5+3+5=17\).
- Liczba ocen: \(n=4\).
- Średnia: \(\bar{x}=\frac{17}{4}=4{,}25\).
Przykład 2: brakujący wynik ze średniej
Średnia 5 liczb wynosi \(6\). Cztery znane liczby: 4, 7, 5, 8. Znajdź piątą.
- Suma wszystkich pięciu: \(S=5\cdot 6=30\).
- Suma znanych: \(4+7+5+8=24\).
- Brakująca: \(30-24=6\).
Pułapka egzaminacyjna
- Złe \(n\): dzielisz przez złą liczbę elementów (często w stresie).
- Jednostki: średnia ma tę samą jednostkę co dane (np. °C, s, zł).
- Wartości odstające: jedna bardzo duża/mała liczba potrafi „przeciągnąć” średnią.
Sprawdź się
- Oblicz średnią z liczb: 10, 12, 15, 13.
- Średnia 4 liczb wynosi 9. Trzy z nich to 8, 10, 7. Jaka jest czwarta liczba?
- Temperatury: \(5{,}4^\circ\text{C}\), \(6{,}1^\circ\text{C}\), \(x^\circ\text{C}\). Średnia to \(5{,}8^\circ\text{C}\). Oblicz \(x\).
Odpowiedzi
- Suma \(=50\), \(\bar{x}=\frac{50}{4}=12{,}5\).
- Suma \(=4\cdot 9=36\). Znane \(=25\). Brakująca \(=11\).
- Suma \(=3\cdot 5{,}8=17{,}4\). Znane \(=11{,}5\). \(x=5{,}9^\circ\text{C}\).
Krótkie podsumowanie
Średnia to „po równo”: najpierw suma, potem dzielenie przez \(n\). W zadaniach odwrotnych pamiętaj o kroku \(S=n\cdot \bar{x}\) – to najkrótsza droga do brakującej liczby.
