Wykres liniowy — zmiana w czasie i zależność jednej wielkości od drugiej

Wykres liniowy to prosty i czytelny sposób przedstawienia, jak pewna wielkość zmienia się w czasie lub jak zależy od innej wielkości. Na osi poziomej zwykle umieszczamy czas (dni, miesiące, lata) lub inną zmienną niezależną, a na osi pionowej — wartość obserwowanej wielkości.

Co pokazuje wykres liniowy?

• Trendy: czy wartość rośnie, maleje, czy pozostaje stała.
• Szybkość zmian: gdzie wykres jest najbardziej stromy (największe nachylenie) — to oznacza najszybszy wzrost lub spadek.
• Punkty charakterystyczne: maksima, minima, oraz punkty pośrednie, które warto odczytać dokładnie.

Jak czytać trend?

• Jeśli linia generalnie idzie w górę — mówi się, że trend jest rosnący.
• Jeśli linia ogólnie opada — trend jest malejący.
• Odcinki poziome oznaczają okresy, gdy wartość była mniej więcej stała.

Ważne jest rozróżnienie między:

• wzrostem stałym (linia rośnie równomiernie),
• wzrostem przyspieszonym (linia staje się coraz bardziej stroma),
• oraz spadkiem (linia opada).

Nachylenie (szybkość zmiany)

Nachylenie między dwoma punktami \( (x_1, y_1) \) i \( (x_2, y_2) \) wyraża, jak szybko zmienia się wartość względem osi poziomej:

Jednostka nachylenia to jednostki pionowe na jednostkę poziomą (np. zł na dzień, osoby na miesiąc).

Odczyt wartości pośrednich i punktów charakterystycznych

• Wartości pośrednie: jeśli punkt leży między oznaczonymi dniami, można odczytać jego wartość przez interpolację linearna między sąsiednimi punktami.
• Maksimum/minimum globalne: najwyższy i najniższy punkt na całym wykresie.
• Ekstremum lokalne: punkt wyższy niż bezpośrednie otoczenie (lokalne maksimum) lub niższy (lokalne minimum).

Typowe zadania i jak je rozwiązywać (krok po kroku)

Przykład danych (dni 1–5):

• Dzień 1: 10
• Dzień 2: 15
• Dzień 3: 20
• Dzień 4: 18
• Dzień 5: 25

1. W którym dniu było najwięcej?
   • Krok 1: Znajdź największą wartość w tabeli (tu: 25).
   • Krok 2: Odczytaj odpowiadający jej dzień (tu: dzień 5).

   Odpowiedź: najwięcej było w dniu 5.

2. O ile wzrosło między dniem 1 i dniem 3?
   • Krok 1: Oblicz różnicę wartości: \( \Delta = y_3 - y_1 = 20 - 10 = 10 \).

   Odpowiedź: wzrosło o 10 jednostek.

3. Kiedy spadało?
   • Krok 1: Sprawdź kolejne różnice między dniami:
   • \( y_2 - y_1 = 5 \) (wzrost),
   • \( y_3 - y_2 = 5 \) (wzrost),
   • \( y_4 - y_3 = -2 \) (spadek),
   • \( y_5 - y_4 = 7 \) (wzrost).
   • Krok 2: Wybierz okresy z ujemną różnicą.

   Odpowiedź: spadek nastąpił między dniem 3 i dniem 4.

4. Gdzie wykres najszybciej rósł?
   • Krok 1: Oblicz nachylenia między kolejnymi dniami (zakładając jednostkę czasu równą 1):
   • \( m_{1\to2} = \frac{15-10}{1} = 5 \),
   • \( m_{2\to3} = \frac{20-15}{1} = 5 \),
   • \( m_{3\to4} = \frac{18-20}{1} = -2 \),
   • \( m_{4\to5} = \frac{25-18}{1} = 7 \).
   • Krok 2: Największe nachylenie to \( 7 \) między dniem 4 i 5.

   Odpowiedź: najszybciej rosło między dniem 4 i 5.

Krótkie wskazówki i wyjaśnienia

• Zawsze zwróć uwagę na jednostki osi: bez nich liczby są mało informacyjne.
• Skala osi wpływa na postrzeganie stromizny — zmiana skali może sprawić, że wykres będzie wyglądał mniej lub bardziej stromo.
• Wykres liniowy łączy punkty liniami prostymi — jeśli dane reprezentują pomiary w konkretnych chwilach, połączenie liniami sugeruje interpolację między nimi. Jeśli nie chcemy sugerować wartości między pomiarami, lepszym wyborem może być wykres punktowy.

Cele lekcji (co uczeń powinien umieć po przerobieniu materiału)

• Rozpoznać wykres liniowy i opisać go słownie (rośnie/maleje/stały).
• Odczytać wartości bezpośrednio z wykresu oraz oszacować wartości pośrednie.
• Znaleźć punkty charakterystyczne: maksimum, minimum, przedziały wzrostu i spadku.
• Obliczyć różnicę wartości i nachylenie prostych między dwoma punktami oraz interpretować wynik w kontekście zadania.

Ten materiał daje podstawy do pracy z wykresami liniowymi — po opanowaniu tych umiejętności uczeń potrafi odpowiadać na typowe zadania: „w którym dniu było najwięcej?”, „o ile wzrosło?”, „kiedy spadało?” oraz wyjaśnić, gdzie zmiany były najszybsze.