Wyrażenia algebraiczne i równania • lekcja 18 z 18
18. Przekształcanie wzorów geometrycznych i fizycznych
W zadaniach geometrycznych i fizycznych przekształcenie to dopiero część rozwiązania. Trzeba dobrać jednostki i sprawdzić, czy otrzymana wielkość jest możliwa.
Po tej lekcji: wyznaczysz potrzebną wielkość z podanego wzoru na pole, gęstość lub temperaturę oraz zastosujesz przekształcenie z poprawnymi jednostkami.Na początek: potrafisz wyznaczać zmienną ze wzoru, obliczać pierwiastki kwadratowe i przeliczać podstawowe jednostki.
Wysokość z pola trójkąta
We wzorze P = ah/2 litera P oznacza pole trójkąta, a — wybraną podstawę, h — wysokość prostopadłą do tej podstawy. Przyjmujemy a > 0 i P > 0.
Najpierw wzór, potem liczby
- Pomnóż P = ah/2 przez 2: 2P = ah.
- Podziel przez a: h = 2P/a.
- Dla P = 30 cm² i a = 12 cm: h = 60/12 = 5 cm.
- Kontrola: 12 · 5 / 2 = 30 cm².
Jednostka cm² podzielona przez cm daje cm, czyli jednostkę wysokości. Nie podstawiaj pola w m² i podstawy w cm bez wcześniejszego uzgodnienia jednostek.
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":30,"y":12,"width":380,"height":55,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":46,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"P = ah/2"}},{"type":"line","attrs":{"x1":85,"y1":72,"x2":85,"y2":94,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"80,88 90,88 85,96","fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":250,"y":100,"text-anchor":"middle","font-size":17,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"·2 po obu stronach"}},{"type":"rect","attrs":{"x":30,"y":122,"width":380,"height":55,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":156,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"2P = ah"}},{"type":"line","attrs":{"x1":85,"y1":182,"x2":85,"y2":204,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"80,198 90,198 85,206","fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":250,"y":210,"text-anchor":"middle","font-size":17,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":":a, przy a > 0"}},{"type":"rect","attrs":{"x":30,"y":232,"width":380,"height":55,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":266,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"h = 2P/a"}}]}
Gęstość: masa w jednostce objętości
Gęstość ρ (czytamy: „ro”) opisuje wzór ρ = m/V, gdzie m to masa, V to objętość, a V > 0. Mnożąc przez V, otrzymujemy m = ρV. Dzieląc ten zapis przez dodatnią gęstość, otrzymujemy V = m/ρ.
Dla m = 270 g i ρ = 2,7 g/cm³ objętość wynosi V = 270/2,7 = 100 cm³. Kontrola: 2,7 g/cm³ · 100 cm³ = 270 g. Ten przykład uczy korzystania z podanej zależności; nie musisz zapamiętywać wartości gęstości materiałów.
Temperatura: cała różnica w nawiasie
Podany wzór F = (9/5)C + 32 łączy liczbowe wskazania temperatury w stopniach Fahrenheita (F) i Celsjusza (C). Wyznaczamy C: odejmujemy 32, uzyskując F − 32 = (9/5)C. Mnożymy przez 5/9: C = (5/9)(F − 32).
Dla F = 68 najpierw obliczamy 68 − 32 = 36, potem (5/9) · 36 = 20. Temperatura wynosi 20°C. Kontrola: (9/5) · 20 + 32 = 68. Nawias jest konieczny, ponieważ mnożnik obejmuje całą różnicę.
Ze wzoru V = abc wyznaczamy a = V/(bc), przy bc ≠ 0. W mianowniku jest iloczyn b · c, nie suma b + c. Jednostki także to ujawniają: cm³/cm² daje cm, lecz cm³/cm daje cm².Dodatkowe zastosowania podanych wzorów
Dla pola koła P = πr² i promienia r ≥ 0 otrzymujemy r² = P/π, a następnie r = √(P/π). Wybieramy nieujemny pierwiastek, bo promień nie jest ujemny. Dla P = 49π cm² promień wynosi 7 cm.
Jeżeli w zadaniu podano Q = mcΔT, gdzie Q oznacza przekazane ciepło, m masę, c ciepło właściwe, a ΔT zmianę temperatury, możemy wyznaczyć ΔT = Q/(mc), przy mc ≠ 0. Na przykład dla Q = 840 J, m = 2 kg i c = 210 J/(kg · °C) otrzymujemy ΔT = 2°C. Wzory te są podane jako ćwiczenie algebraiczne; nie zakładamy ich pamięciowej znajomości.
Teraz sprawdź swoje rozumienie
Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.
Zadanie 1
Wskazówka
Użyj h = 2P/a.
Rozwiązanie i kontrola
h = 84/12 = 7 cm. Kontrola: 12 · 7 / 2 = 42 cm².
Zadanie 2
Wskazówka
Z ρ = m/V otrzymasz V = m/ρ.
Rozwiązanie i kontrola
V = 156/7,8 = 20 cm³. Kontrola: 7,8 · 20 = 156 g.
Zadanie 3
Wskazówka
Najpierw odejmij 32.
Rozwiązanie i kontrola
C = (5/9)(77 − 32) = (5/9) · 45 = 25. Temperatura to 25°C.
Zadanie 4
Wskazówka
Dziel przez bc, nie przez b + c.
Rozwiązanie i kontrola
a = V/(bc), przy bc ≠ 0. a = 120/20 = 6 cm. Kontrola: 6 · 4 · 5 = 120 cm³.
Zadanie 5
Wskazówka
Podziel przez π, potem wybierz nieujemny pierwiastek.
Rozwiązanie i kontrola
r² = 36 cm², więc r = 6 cm. −6 cm nie jest dopuszczalną długością promienia.
Zadanie 6
Wskazówka
Cały iloczyn mc jest dzielnikiem.
Rozwiązanie i kontrola
ΔT = Q/(mc), przy mc ≠ 0. ΔT = 1200/(2 · 300) = 2°C. Kontrola: 2 · 300 · 2 = 1200 J.
Najważniejsze zależności
Zacznij od znaczenia liter i warunków. Przekształć wzór, uzgodnij jednostki, podstaw dane i sprawdź wynik we wzorze początkowym. Długości wybieramy nieujemne, a dzielniki muszą być niezerowe.
