Ćwiczenia ze wzorami na pole, objętość, prędkość, gęstość i przekształcanie wzorów
Cel: Uczeń potrafi rozpoznawać i przekształcać typowe wzory z geometrii i fizyki, umie podstawiać wartości liczbowe, dbać o zgodność jednostek i sprawdzać poprawność wyników.
Najważniejsze wzory (przegląd)
- Pole prostokąta: \(A = a \cdot b\)
- Pole trójkąta: \(A = \tfrac{1}{2} b h\)
- Pole koła: \(A = \pi r^2\)
- Objętość prostopadłościanu: \(V = a b c\)
- Objętość walca: \(V = \pi r^2 h\)
- Objętość kuli: \(V = \tfrac{4}{3}\pi r^3\)
- Prędkość średnia: \(v = \dfrac{s}{t}\) (droga \(s\), czas \(t\))
- Gęstość: \(\rho = \dfrac{m}{V}\) (masa \(m\), objętość \(V\))
Każdy wzór opisuje relację między wielkościami. Zadaniem przekształcania wzoru jest wyznaczenie jednej z wielkości z pozostałych.
Zasady przekształcania wzorów (krótko)
- Upewnij się, że wszystkie dane mają zgodne jednostki (np. metry z metrami, sekundy z sekundami).
- Stosuj działania algebraiczne: mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie.
- Gdy zmieniasz stronę równania, wykonuj te same operacje po obu stronach.
- Po przekształceniu wpisz dane i sprawdź wymiarowość wyniku (jednostki).
Kilka krótkich przykładów i kroków
Przykład 1 — pole koła, obliczenie promienia z pola
Dane: pole koła \(A\). Chcemy \(r\).
Kroki:
- Zapisz wzór: \[ A = \pi r^2. \]
- Podziel obie strony przez \(\pi\): \[ \dfrac{A}{\pi} = r^2. \]
- Weź pierwiastek: \[ r = \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}. \]
Przykład liczbowy: jeśli \(A = 50\ \mathrm{cm}^2\), to
\[ r = \sqrt{\dfrac{50}{\pi}} \approx 3{,}99\ \mathrm{cm}. \]Przykład 2 — trójkąt, obliczenie wysokości
Wzór: \[ A = \tfrac{1}{2} b h. \]
Wyznaczyć \(h\):
\[ h = \dfrac{2A}{b}. \]Przykład 3 — walec, obliczenie wysokości z objętości
Wzór: \[ V = \pi r^2 h. \]
Wyznaczyć \(h\):
\[ h = \dfrac{V}{\pi r^2}. \]Przykład 4 — prędkość i czas
Jeśli \(v = \dfrac{s}{t}\), to aby obliczyć czas:
\[ t = \dfrac{s}{v}. \]Przykład liczbowy: droga \(s = 120\ \mathrm{km}\), prędkość \(v = 60\ \mathrm{km/h}\) daje
\[ t = \dfrac{120}{60} = 2\ \mathrm{h}. \]Przykład 5 — gęstość i masa
Z \(\rho = \dfrac{m}{V}\) otrzymujemy masę:
\[ m = \rho V. \]Jeśli \(\rho = 2{,}7\ \mathrm{g/cm^3}\) i \(V = 10\ \mathrm{cm^3}\), to \(m = 27\ \mathrm{g}\).
Przykład 6 — kula, wyznaczenie promienia z objętości
Wzór: \[ V = \tfrac{4}{3}\pi r^3. \]
Wyznaczamy \(r\):
\[ r = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}. \]Wskazówki praktyczne i pułapki
- Zawsze sprawdź jednostki: np. jeśli masa w kilogramach, a objętość w cm³, wyniki gęstości będą w niejednolitych jednostkach — przelicz przed podstawieniem.
- Przy zaokrąglaniu zachowaj sens fizyczny: nie ucinaj za dużej precyzji, dopasuj liczbę cyfr znaczących do danych.
- Dla równań z potęgami (np. \(r^2\), \(r^3\)) używamy pierwiastkowania (kwadratowego, sześciennego) podczas izolowania zmiennej.
- Sprawdź wynik podstawiając z powrotem do oryginalnego wzoru (kontrola).
Proponowane ćwiczenia do samodzielnej pracy
- Dane: prostokąt o bokach \(7\ \mathrm{cm}\) i \(4\ \mathrm{cm}\) — policz pole i obwód.
- Masz objętość walca \(V = 314\ \mathrm{cm^3}\) i promień \(r = 5\ \mathrm{cm}\) — oblicz wysokość.
- Samochód przejechał \(150\ \mathrm{km}\) w czasie \(2{,}5\ \mathrm{h}\) — oblicz prędkość średnią.
- Przedmiot o masie \(0{,}5\ \mathrm{kg}\) i objętości \(200\ \mathrm{cm^3}\) — oblicz gęstość (pamiętaj o jednostkach).
- Dana objętość kuli \(V = 36\pi\ \mathrm{cm^3}\) — znajdź promień kuli i jego obwód koła wielkiej równika.
W każdym zadaniu:
- Zapisz wzór,
- Przekształć (jeśli trzeba) tak, aby wyznaczyć szukaną wielkość,
- Podstaw liczby i oblicz,
- Sprawdź jednostki i sens wyniku.
Powodzenia — regularne ćwiczenie przekształcania wzorów szybko zwiększa pewność siebie w zadaniach z geometrii i fizyki.
