Wyznaczanie zmiennej z prostego wzoru — krótki przewodnik dla ucznia

Cel: nauczyć się, jak z prostego wzoru wyznaczyć jedną ze zmiennych (np. z \(s = vt\) wyznaczyć \(v\) lub \(t\); z \(P = a\cdot b\) wyznaczyć \(a\) lub \(b\)). Pokazuję metodę krok po kroku, krótkie wyjaśnienia i przykłady.

Zasada ogólna (intuicja)

W równaniu mamy zawsze równość dwóch wyrażeń. Aby wyznaczyć jedną zmienną, wykonujemy na obu stronach równania te same operacje algebraiczne (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie), tak aby izolować poszukiwaną zmienną po jednej stronie równania.

Ważne zasady:

• Możesz dzielić przez zmienną pod warunkiem, że nie dzielisz przez zero.
• Operacje wykonujesz na obu stronach równania — dzięki temu równość pozostaje prawdziwa.
• Na końcu zawsze podmień otrzymaną wartość do oryginalnego wzoru, żeby sprawdzić poprawność.

Metoda krok po kroku (przykład z \(s = vt\))

Chcemy wyznaczyć \(v\) (prędkość) z równania drogi \(s = v t\).

1. Mamy równanie: \[ s = v t \]
2. Aby izolować \(v\), podziel obie strony równania przez \(t\) (zakładając \(t \neq 0\)): \[ \frac{s}{t} = \frac{v t}{t} \]
3. Prawa strona upraszcza się do \(v\), więc: \[ v = \frac{s}{t} \]

Analogicznie, aby wyznaczyć \(t\):

1. Zaczynamy od \( s = v t \).
2. Dzielimy obie strony przez \(v\) (zakładając \(v \neq 0\)): \[ \frac{s}{v} = t \]
3. Otrzymujemy: \[ t = \frac{s}{v} \]

Przykłady liczbowe:

• Jeśli \(s = 150\) km i \(t = 3\) h, to \[ v = \frac{150}{3} = 50 \text{ km/h}. \]
• Jeśli \(s = 200\) m i \(v = 5\) m/s, to \[ t = \frac{200}{5} = 40 \text{ s}. \]

Zwróć uwagę na jednostki — wynik musi mieć sens jednostkowy (tu km/h lub s).

Przykład: iloczyn — z \(P = a\cdot b\) wyznaczamy \(a\) lub \(b\)

Równanie:

Aby wyznaczyć \(a\):

1. Dzielimy obie strony przez \(b\) (gdy \(b \neq 0\)): \[ a = \frac{P}{b}. \]

Aby wyznaczyć \(b\):

1. Dzielimy obie strony przez \(a\) (gdy \(a \neq 0\)): \[ b = \frac{P}{a}. \]

Przykład:

• Jeśli pole prostokąta \(P = 24\) i jeden bok \(b = 6\), to \[ a = \frac{24}{6} = 4. \]

Kilka dodatkowych wskazówek i typowych sytuacji

• Operacje odwrotne: jeśli zmienna jest mnożona — dzielimy; jeśli jest dzielona — mnożymy; jeśli dodana — odejmujemy; jeśli podpierwiastkowana — podnosimy do kwadratu (uwaga na znak).
• Jeżeli zmienna występuje w mianowniku, nie można dzielić przez zero — trzeba zaznaczyć warunek (np. \(t \neq 0\)).
• Przy bardziej złożonych wzorach najpierw upraszczaj (usuń nawiasy, zredukuj podobne wyrazy), dopiero potem izoluj zmienną.
• Zawsze sprawdź wynik: podstaw otrzymaną wartość do oryginalnego wzoru i upewnij się, że lewa i prawa strona się zgadzają.

Krótki schemat działania (do zapamiętania)

1. Rozpisz równanie.
2. Wykonuj operacje odwrotne do tych, które są przy poszukiwanej zmiennej, na obu stronach równania, aż zmienna będzie sama po jednej stronie.
3. Uwzględnij warunki (np. różne od zera).
4. Sprawdź przez podstawienie.

Zadanie do samodzielnego ćwiczenia

1. Z równania \(E = m \cdot c^2\) wyznacz \(m\). (Podpowiedź: \(m = \frac{E}{c^2}\).)
2. Z równania napięcia \(U = R \cdot I\) wyznacz \(I\) i \(R\).
3. Sprawdź w każdym zadaniu, czy nie dzielisz przez zero i czy jednostki są poprawne.

Powodzenia — praktyka z kilkoma przykładami szybko utrwali tę prostą i przydatną umiejętność!