Wyrażenia algebraiczne i równania • lekcja 17 z 18
17. Przekształcanie wzorów – wyznaczanie zmiennej
W jednym wzorze można szukać różnych wielkości. Przekształcenie pozwala przygotować instrukcję obliczania wybranej litery, zanim podstawisz konkretne liczby.
Po tej lekcji: wyznaczysz wskazaną zmienną ze wzoru, stosując działania po obu stronach i zapisując warunki dzielenia.Na początek: umiesz rozwiązywać równania liniowe i rozumiesz, że przez zero nie dzielimy.
Cel: wskazana litera sama po jednej stronie
Cofnij dwa działania
Ze wzoru y = 3x − 5 wyznacz x.
- Dodaj 5 do obu stron: y + 5 = 3x.
- Podziel całe obie strony przez 3: (y + 5)/3 = x.
- Zamień kolejność stron: x = (y + 5)/3.
- Kontrola przez podstawienie do początku: 3 · ((y + 5)/3) − 5 = y + 5 − 5 = y.
Nawias w liczniku jest konieczny. Zapis y + 5/3 oznaczałby dzielenie tylko liczby 5, a nie całej sumy.
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":30,"y":12,"width":380,"height":55,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":46,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"y = 3x − 5"}},{"type":"line","attrs":{"x1":85,"y1":72,"x2":85,"y2":94,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"80,88 90,88 85,96","fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":250,"y":100,"text-anchor":"middle","font-size":17,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"+5 po obu stronach"}},{"type":"rect","attrs":{"x":30,"y":122,"width":380,"height":55,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":156,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"y + 5 = 3x"}},{"type":"line","attrs":{"x1":85,"y1":182,"x2":85,"y2":204,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"80,198 90,198 85,206","fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":250,"y":210,"text-anchor":"middle","font-size":17,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":":3 po obu stronach"}},{"type":"rect","attrs":{"x":30,"y":232,"width":380,"height":55,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":266,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"x = (y + 5)/3"}}]}
Gdy szukana litera jest w mianowniku
We wzorze v = s/t przyjmujemy t ≠ 0. Aby wyznaczyć s, mnożymy obie strony przez t: vt = s, czyli s = vt. Żeby wyznaczyć t, z równania vt = s dzielimy przez v: t = s/v, przy dodatkowym warunku v ≠ 0.
Jeśli v = 0, nie wolno użyć s/v. Z pierwotnego wzoru wynika wtedy s = 0 dla każdego dopuszczalnego t. Sam wzór nie pozwala w tej sytuacji jednoznacznie wyznaczyć t. W typowym zadaniu o przebytej dodatniej drodze i dodatnim czasie mamy v > 0.
Kilka składników po jednej stronie
Ze wzoru O = 2a + 2b wyznacz a. Odejmij 2b: O − 2b = 2a. Podziel przez 2: a = (O − 2b)/2. Równoważnie a = O/2 − b. Dla O = 30 i b = 5 dostajemy a = 10, a sprawdzenie 2 · 10 + 2 · 5 = 30 potwierdza wynik. Jeśli O oznacza obwód prostokąta, długości muszą dodatkowo być dodatnie.
Litery po prawej stronie nie są przeszkodą i nie trzeba nadawać im liczb. Wynikiem przekształcenia jest nowy wzór. Dzielenie przez iloczyn oznacza dzielenie przez cały iloczyn: z A = bc otrzymujemy b = A/c przy c ≠ 0, a nie b = A − c.Przy trudniejszym zapisie nazwij działanie wykonywane na szukanej literze jako ostatnie. Cofnij je jako pierwsze, pamiętając o całych sumach i warunkach. Kontrola symboliczna przez powrót do wzoru jest silniejsza niż sprawdzenie jednego zestawu liczb.
Teraz sprawdź swoje rozumienie
Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.
Zadanie 1
Wskazówka
Odejmij b od obu stron.
Rozwiązanie i kontrola
c = a − b. Kontrola: b + (a − b) = a.
Zadanie 2
Wskazówka
Najpierw odejmij 7, potem dziel przez 4.
Rozwiązanie i kontrola
x = (y − 7)/4. Kontrola: 4 · ((y − 7)/4) + 7 = y.
Zadanie 3
Wskazówka
Odejmij 2a od obu stron.
Rozwiązanie i kontrola
b = (O − 2a)/2 = O/2 − a. Dla prostokąta wynik musi być dodatni.
Zadanie 4
Wskazówka
Dziel przez czynnik stojący obok c.
Rozwiązanie i kontrola
c = A/b przy b ≠ 0. Gdy b = 0, ten iloraz nie jest określony.
Zadanie 5
Wskazówka
Najpierw pomnóż przez t, potem dziel przez v.
Rozwiązanie i kontrola
vt = s, więc t = s/v. Wzór początkowy wymaga t ≠ 0, a dzielenie wymaga v ≠ 0.
Najważniejsze zależności
Wyznaczanie litery jest rozwiązywaniem równania z pozostałymi literami jako danymi. Cofaj działania, zachowuj nawiasy i zapisuj warunek niezerowego dzielnika.
