Wyrażenia algebraiczne i równania • lekcja 16 z 18
16. Zadania tekstowe z procentami i równaniami
Cena po obniżce to nie kwota rabatu. W zadaniu procentowym najpierw ustal, co jest całością, czyli 100%. Dopiero potem wybierz współczynnik przy niewiadomej.
Po tej lekcji: ułożysz równanie na nieznaną całość, cenę przed obniżką lub podwyżką oraz poprawnie wskażesz podstawę procentu.Na początek: znasz procent jako setną część całości i umiesz rozwiązywać równania z liczbami dziesiętnymi.
Sto procent czego?
Jeżeli 12% uczniów to 6 osób, x oznacza liczbę wszystkich uczniów. Równanie ma postać 0,12x = 6. Dzielimy przez 0,12 i otrzymujemy x = 50. Kontrola: 10% z 50 to 5, a 2% to 1, razem 6 osób.
Szukamy ceny przed obniżką
Po obniżce o 20% kurtka kosztuje 240 zł.
- x — cena przed obniżką w złotych; to ona stanowi 100%.
- Pozostaje 100% − 20% = 80% ceny.
- Równanie: 0,8x = 240.
- Rozwiązanie: x = 240/0,8 = 300.
- Kontrola: rabat to 0,2 · 300 = 60 zł; 300 − 60 = 240 zł.
Cena początkowa wynosiła 300 zł. Wynik powinien być większy od 240 zł, bo cofamy obniżkę.
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":50,"width":80,"height":65,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"rect","attrs":{"x":100,"y":50,"width":80,"height":65,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"rect","attrs":{"x":180,"y":50,"width":80,"height":65,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"rect","attrs":{"x":260,"y":50,"width":80,"height":65,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"rect","attrs":{"x":340,"y":50,"width":80,"height":65,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":60,"y":89,"text-anchor":"middle","font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"20%"}},{"type":"text","attrs":{"x":140,"y":89,"text-anchor":"middle","font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"20%"}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":89,"text-anchor":"middle","font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"20%"}},{"type":"text","attrs":{"x":300,"y":89,"text-anchor":"middle","font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"20%"}},{"type":"text","attrs":{"x":380,"y":89,"text-anchor":"middle","font-size":18,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"20%"}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":30,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"Cała cena x: 100%"}},{"type":"line","attrs":{"x1":20,"y1":130,"x2":340,"y2":130,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":180,"y":158,"text-anchor":"middle","font-size":20,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"80% = 240 zł"}},{"type":"text","attrs":{"x":380,"y":158,"text-anchor":"middle","font-size":17,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"rabat"}},{"type":"rect","attrs":{"x":30,"y":185,"width":380,"height":55,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":220,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"0,8x = 240"}}]}
Po podwyżce jest więcej niż sto procent
Po podwyżce o 15% cena wynosi 460 zł. Nieznana poprzednia cena x stanowi 100%, zatem nowa cena to 115%, czyli 1,15x. Rozwiązujemy 1,15x = 460: x = 400. Sprawdzenie: 15% z 400 to 60; 400 + 60 = 460 zł.
Cofając podwyżkę, dzielimy przez 1,15. Nie odejmujemy 15% od 460 zł, bo to byłby procent nowej ceny, a podwyżkę liczono od starej. Analogicznie dodanie 20% do 240 zł dałoby 288 zł, nie pierwotne 300 zł.
Różnica też może być podaną wielkością
Jeżeli rabat 20% wyniósł 60 zł, równanie brzmi 0,2x = 60, a nie 0,8x = 60. W pierwszym przykładzie podano cenę po zmianie; tutaj podano samą obniżkę. To, którą kwotę znamy, decyduje o równaniu.
Zanim zaczniesz rachunek, dokończ zdanie: „Podana liczba jest … procentami …”. Na przykład „240 zł jest 80 procentami ceny początkowej”. Ten krok chroni przed myleniem części, całości i ceny końcowej.Na koniec oceń sens rozwiązania: liczba uczniów powinna być całkowita, cena dodatnia, a po rzeczywistej obniżce mniejsza niż przed nią. Nie zmieniaj podstawy procentu w trakcie rozwiązania.
Teraz sprawdź swoje rozumienie
Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.
Zadanie 1
Wskazówka
x jest całością.
Rozwiązanie i kontrola
0,3x = 18; x = 60. Kontrola: 0,3 · 60 = 18.
Zadanie 2
Wskazówka
Pozostało 75% starej ceny.
Rozwiązanie i kontrola
0,75x = 150; x = 200 zł. Rabat 50 zł, cena końcowa 150 zł.
Zadanie 3
Wskazówka
Nowa wartość stanowi 108% poprzedniej.
Rozwiązanie i kontrola
1,08x = 540; x = 500. Kontrola: 500 + 40 = 540.
Zadanie 4
Wskazówka
45 zł to sam rabat, nie cena końcowa.
Rozwiązanie i kontrola
0,15x = 45; x = 300 zł. Po rabacie: 300 − 45 = 255 zł.
Zadanie 5
Wskazówka
Porównaj podstawy obu procentów.
Rozwiązanie i kontrola
Dostaje 288 zł, bo liczy 20% od 240, nie od ceny początkowej. Poprawnie 0,8x = 240, więc x = 300 zł.
Najważniejsze zależności
Nazwij całość, ustal procent odpowiadający podanej liczbie i dopiero zapisz równanie. Rabat, cena po obniżce i cena przed obniżką to trzy różne wielkości.
