Zadania procentowe — zapis równań i rozwiązywanie

Cel: Uczeń umie zapisać prostą sytuację procentową za pomocą równania i rozwiązać je, aby znaleźć część, wartość początkową lub procent.

Krótka przypominajka

• „Ile procent z czegoś?” — pytamy o stosunek części do całości wyrażony w procentach.
• „Jaka była cena przed obniżką?” — pytamy o wartość początkową, jeśli znamy cenę po obniżce i wielkość obniżki (w procentach).
• Podstawowa zależność używana we wszystkich zadaniach:

\[ \text{część} = \text{całość} \cdot \left(\frac{\text{procent}}{100}\right) \]

1) Ile procent z czegoś? (znajdowanie procentu)

- Dane: część i całość. Szukamy \(p\) (procentu).

- Równanie:

\[ \text{część} = \text{całość} \cdot \frac{p}{100} \]

- Rozwiązanie:

\[ p = \frac{\text{część}}{\text{całość}} \cdot 100 \]

Przykład:

• Pytanie: Ile procent ze 200 to 50?
1. Zapisz równanie: \(50 = 200 \cdot \dfrac{p}{100}\).
2. Przekształć: \(\dfrac{p}{100} = \dfrac{50}{200} = 0{,}25\).
3. Wynik: \(p = 0{,}25 \cdot 100 = 25\%\).

2) Jaka jest część, jeśli znamy procent? (obliczanie części)

- Dane: całość i procent \(p\). Szukamy części.

- Równanie i obliczenie:

\[ \text{część} = \text{całość} \cdot \frac{p}{100} \]

Przykład:

- 15% z 120:

\[ \text{część} = 120 \cdot \frac{15}{100} = 120 \cdot 0{,}15 = 18. \]

3) Jaka była cena przed obniżką? (znajdowanie wartości początkowej)

- Typowa sytuacja: znamy cenę po obniżce (oznaczmy \(P_{\text{po}}\)) i procent obniżki \(r\%\). Szukamy ceny przed obniżką \(P_{\text{przed}}\).

- Równanie: po obniżce pozostała część ceny to \(1 - \dfrac{r}{100}\), więc

\[ P_{\text{po}} = P_{\text{przed}} \cdot \left(1 - \frac{r}{100}\right). \]

- Stąd:

\[ P_{\text{przed}} = \frac{P_{\text{po}}}{1 - \frac{r}{100}}. \]

Przykład:

• Cena po obniżce: 80 zł, obniżka 20%.
1. Zapisz równanie: \(80 = P_{\text{przed}}\cdot(1-0{,}20)\).
2. Przekształć: \(P_{\text{przed}} = \dfrac{80}{0{,}80} = 100\) zł.

4) Odwrotna sytuacja — ile procent stanowi część całości?

- Gdy chcemy wyrazić część jako procent całości, używamy:

\[ p = \frac{\text{część}}{\text{całość}} \cdot 100. \]

Przykład:

- 30 z 150: \(p = \dfrac{30}{150}\cdot 100 = 20\%\).

Wskazówki praktyczne i najczęstsze błędy

• Zawsze określ, co oznacza każda zmienna (np. \(P_{\text{przed}}\), \(P_{\text{po}}\), \(p\)).
• Zamień procent na ułamek dziesiętny przy obliczeniach: \(20\% = 0{,}20\).
• Przy obniżkach i podwyżkach pamiętaj, że:
  • obniżka o \(r\%\) → mnożysz przez \(1 - \dfrac{r}{100}\),
  • podwyżka o \(r\%\) → mnożysz przez \(1 + \dfrac{r}{100}\).
• Uważaj na mylenie „ile procent z” z „ile procent to część” — kierunek dzielenia jest istotny.

Zadania do samodzielnego rozwiązania (krótkie)

1. Ile procent z 500 to 125? (Odp.: 25%)
2. Jaka była cena przed obniżką, jeśli po obniżce koszt wynosi 72 zł, a obniżka była 10%? (Odp.: 80 zł)
3. Obiekt podrożał z 50 zł do 60 zł — o ile procent wzrósł? (Rozwiązanie: \( \dfrac{60-50}{50}\cdot 100 = 20\% \))

Podsumowanie

• Zapisuj równania jasno: określ zmienną, zapisz zależność procentową, przekształć i oblicz.
• Ćwicz różne typy zadań: wyznaczanie procentu, części, wartości początkowej oraz procentowej zmiany.