Wyrażenia algebraiczne i równania • lekcja 15 z 18

15. Zadania tekstowe rozwiązywane równaniem

Najtrudniejszy krok zadania tekstowego często następuje przed rachunkiem: trzeba zdecydować, co oznacza niewiadoma i które dwie wielkości są równe.

Na początek: umiesz tworzyć wyrażenia z opisu i rozwiązywać równania liniowe z nawiasami.

Równanie potrzebuje dwóch opisów tej samej wielkości

W pudełku było x kredek. Po dołożeniu 7 jest ich 25. Liczbę kredek po zmianie opisują jednocześnie x + 7 oraz 25. Stąd x + 7 = 25, więc x = 18. Odpowiadamy: początkowo było 18 kredek. Sama liczba bez wyjaśnienia, czego dotyczy, nie zamyka zadania.

Dwa różne boki, jeden obwód

Prostokąt ma obwód 38 cm. Dłuższy bok jest o 5 cm dłuższy od krótszego.

1. x — długość krótszego boku w cm; x > 0.
2. Dłuższy bok: x + 5 cm.
3. Obwód: 2x + 2(x + 5) = 38.
4. Rozwiązanie: 2x + 2x + 10 = 38; 4x = 28; x = 7.
5. Odpowiedź: boki mają 7 cm i 12 cm.

Sprawdzenie tekstu: 12 − 7 = 5 cm i 2 · 7 + 2 · 12 = 38 cm. Oba warunki są spełnione, obie długości dodatnie.

{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":30,"width":90,"height":70,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"rect","attrs":{"x":110,"y":30,"width":110,"height":70,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"rect","attrs":{"x":220,"y":30,"width":90,"height":70,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"rect","attrs":{"x":310,"y":30,"width":110,"height":70,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":65,"y":73,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"x"}},{"type":"text","attrs":{"x":165,"y":73,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"x + 5"}},{"type":"text","attrs":{"x":265,"y":73,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"x"}},{"type":"text","attrs":{"x":365,"y":73,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"x + 5"}},{"type":"line","attrs":{"x1":20,"y1":115,"x2":420,"y2":115,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"line","attrs":{"x1":20,"y1":108,"x2":20,"y2":122,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"line","attrs":{"x1":420,"y1":108,"x2":420,"y2":122,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":155,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"Cały obwód: 38 cm"}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":185,"width":400,"height":60,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":222,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"2x + 2(x + 5) = 38"}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":278,"text-anchor":"middle","font-size":17,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"Schemat długości, nie skala."}}]}

Kolejne liczby

Trzy kolejne liczby naturalne mają sumę 48. Pierwszą nazwijmy n; pozostałe to n + 1 i n + 2. Równanie n + (n + 1) + (n + 2) = 48 upraszcza się do 3n + 3 = 48. Zatem 3n = 45 i n = 15. Szukane liczby to 15, 16, 17; ich suma wynosi 48 i rzeczywiście są kolejne.

Dlaczego nie wystarczy odpowiedzieć „15”? Niewiadoma oznaczała tylko pierwszą liczbę, a polecenie wymagało trzech. Wracaj do pytania po zakończeniu obliczeń.

Rachunek może ostrzec przed niemożliwą sytuacją

Gdyby suma trzech kolejnych liczb naturalnych miała wynosić 20, dostalibyśmy 3n + 3 = 20, czyli n = 17/3. To poprawne rozwiązanie równania w liczbach rzeczywistych, ale nie liczba naturalna. Zatem nie istnieją trzy kolejne liczby naturalne o takiej sumie.

Teraz sprawdź swoje rozumienie

Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Najważniejsze zależności

Dobre równanie łączy dwa opisy tej samej wielkości. Po rozwiązaniu odpowiedz na pełne pytanie i sprawdź warunki treści, nie tylko równość algebraiczną.