Rozwiązywanie równań z ułamkami i liczbami dziesiętnymi

Cel: Uczeń potrafi rozwiązać równania z „trudniejszymi” liczbami, np. z ułamkami zwykłymi i liczbami dziesiętnymi.

Krótko — co robić:

• Najpierw uprość równanie (usuń nawiasy, jeżeli są).
• Potem wyizoluj wyraz zawierający niewiadomą na jednej stronie (przenieś liczby).
• Jeśli niewiadoma jest pomnożona przez ułamek lub liczbę dziesiętną, pozbądź się tego mnożenia (dzieląc przez współczynnik) albo pomnóż obie strony przez wspólny mianownik, żeby pozbyć się ułamków.
• Sprawdź wynik, podstawiając do pierwotnego równania.

Przydatne strategie:

• Mnożenie przez wspólny mianownik usuwa ułamki: wygodnie się liczy i unika dzielenia przez ułamek.
• Przy liczbach dziesiętnych można najpierw pomnożyć obie strony przez 10, 100 itp., by pracować na liczbach całkowitych.
• Zawsze wykonuj te same operacje po obu stronach równania.

Metoda krok po kroku (schemat):

1. Uprość obie strony równania.
2. Przenieś składniki bez \(x\) na drugą stronę (odejmij/dodaj).
3. Pozbądź się współczynnika przy \(x\) (dzielenie lub mnożenie przez odwrotność).
4. Sprawdź rozwiązanie.

Przykład 1 — równanie z ułamkiem zwykłym:

Równanie: \( \frac{1}{2}x + 3 = 5 \)

Kroki:

1. Odejmij 3 od obu stron:
   \[ \frac{1}{2}x + 3 - 3 = 5 - 3 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2}x = 2 \]
2. Pomnóż obie strony przez 2 (albo podziel przez \(\tfrac{1}{2}\)):
   \[ 2\cdot\frac{1}{2}x = 2\cdot 2 \quad\Rightarrow\quad x = 4 \]
3. Sprawdzenie: podstawiamy \(x=4\):
   \[ \frac{1}{2}\cdot 4 + 3 = 2 + 3 = 5 \] — zgadza się.

Przykład 2 — równanie z liczbą dziesiętną:

Równanie: \(0{,}4x = 2{,}4\)

Kroki (dwie możliwe metody):

Metoda A — dzielenie bezpośrednio:

Metoda B — pozbycie się przecinków (pomnożenie przez 10):

Sprawdzamy: \(0{,}4\cdot 6 = 2{,}4\) — zgadza się.

Kilka krótkich wskazówek i najczęstsze błędy:

• Nie zapomnij wykonać tej samej operacji po obu stronach równania.
• Gdy mnożysz przez ułamek, lepiej pomnóż przez jego odwrotność lub użyj wspólnego mianownika.
• Przy liczbach dziesiętnych mnożenie przez 10, 100 itp. upraszcza rachunki.
• Uważaj na znaki: dodawanie/odejmowanie błędnego znaku to częsta pomyłka.

Zadania do samodzielnej pracy:

1. Rozwiąż: \( \frac{3}{4}x - 2 = 1 \)
2. Rozwiąż: \( 0{,}25x + 1{,}5 = 2{,}75 \)
3. Rozwiąż: \( \frac{5}{6}x = 10 \)
4. Rozwiąż: \( -0{,}8x = 1{,}6 \)

Rozwiązania (krótko):

1. \( \frac{3}{4}x - 2 = 1 \Rightarrow \frac{3}{4}x = 3 \Rightarrow x = 4 \)
2. \( 0{,}25x + 1{,}5 = 2{,}75 \Rightarrow 0{,}25x = 1{,}25 \Rightarrow x = 5 \)
3. \( \frac{5}{6}x = 10 \Rightarrow x = 10\cdot\frac{6}{5} = 12 \)
4. \( -0{,}8x = 1{,}6 \Rightarrow x = \frac{1{,}6}{-0{,}8} = -2 \)

Powtórzenie: kluczem jest konsekwencja w wykonywaniu działań i sprawdzanie wyniku przez podstawienie.