Wyrażenia algebraiczne i równania • lekcja 14 z 18
14. Równania z ułamkami i liczbami dziesiętnymi
Ułamki nie zmieniają zasad rozwiązywania równań. Możesz zachować je w rachunku albo usunąć mianowniki jednym działaniem obejmującym obie strony.
Po tej lekcji: rozwiążesz równanie z ułamkami o liczbowych mianownikach lub liczbami dziesiętnymi, mnożąc wszystkie składniki przez wspólną liczbę.Na początek: umiesz dodawać ułamki, znajdować wspólny mianownik i rozwiązywać równania z nawiasami.
Po co wspólna wielokrotność?
W równaniu x/3 + 1/2 = 2 mianowniki to 3 i 2. Liczba 6 dzieli się przez oba, więc pomnożenie przez 6 usunie ułamki. Można użyć innej wspólnej wielokrotności, np. 12, ale 6 daje mniejsze liczby.
Pomnóż każdą część
- Mnożymy obie strony przez 6: 6 · (x/3 + 1/2) = 6 · 2.
- Rozdzielamy mnożenie: 2x + 3 = 12.
- Odejmujemy 3: 2x = 9.
- Dzielimy przez 2: x = 9/2 = 4,5.
- Sprawdzamy: 4,5/3 + 1/2 = 1,5 + 0,5 = 2.
{"version":1,"elements":[{"type":"text","attrs":{"x":90,"y":45,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"x/3"}},{"type":"text","attrs":{"x":170,"y":45,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"+"}},{"type":"text","attrs":{"x":250,"y":45,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"1/2"}},{"type":"text","attrs":{"x":330,"y":45,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"="}},{"type":"text","attrs":{"x":390,"y":45,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"2"}},{"type":"line","attrs":{"x1":90,"y1":60,"x2":90,"y2":82,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"85,76 95,76 90,84","fill":"#1769D3"}},{"type":"line","attrs":{"x1":250,"y1":60,"x2":250,"y2":82,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"245,76 255,76 250,84","fill":"#1769D3"}},{"type":"line","attrs":{"x1":390,"y1":60,"x2":390,"y2":82,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"385,76 395,76 390,84","fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":90,"y":116,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"·6"}},{"type":"text","attrs":{"x":250,"y":116,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"·6"}},{"type":"text","attrs":{"x":390,"y":116,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"·6"}},{"type":"rect","attrs":{"x":25,"y":140,"width":390,"height":60,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":90,"y":179,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"2x"}},{"type":"text","attrs":{"x":170,"y":179,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"+"}},{"type":"text","attrs":{"x":250,"y":179,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"3"}},{"type":"text","attrs":{"x":330,"y":179,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"="}},{"type":"text","attrs":{"x":390,"y":179,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"12"}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":250,"text-anchor":"middle","font-size":22,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"2x + 3 = 12"}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":284,"text-anchor":"middle","font-size":17,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"Każdy składnik został pomnożony."}}]}
Cały licznik pozostaje grupą
Dla (x − 1)/5 = 3 mnożymy obie strony przez 5 i otrzymujemy x − 1 = 15, więc x = 16. Nie otrzymujemy x − 5 = 15. Cały licznik był dzielony przez 5; mnożenie cofa to dzielenie.
W równaniu (x − 1)/2 + x/3 = 4 wspólny mianownik wynosi 6. Otrzymujemy 3(x − 1) + 2x = 24, następnie 3x − 3 + 2x = 24, czyli 5x = 27 i x = 27/5 = 5,4. Sprawdzenie: 4,4/2 + 5,4/3 = 2,2 + 1,8 = 4.
Liczby dziesiętne też można uprościć
Rozwiąż 0,4x + 1,2 = 3,6. Mnożenie wszystkiego przez 10 daje 4x + 12 = 36. Dalej 4x = 24, więc x = 6. Kontrola: 0,4 · 6 + 1,2 = 2,4 + 1,2 = 3,6. Przy dwóch miejscach po przecinku wygodne może być mnożenie przez 100.
Można też od razu odjąć 1,2 i podzielić przez 0,4. Wybór metody nie zmienia rozwiązania. Nie zaokrąglaj danych po drodze: 0,25 to dokładnie 1/4, a nie przybliżone 0,3.
Błąd „2x + 1/2 = 12” po mnożeniu pierwszego równania przez 6 wynika z pominięcia składnika 1/2. Zaznacz wszystkie składniki po obu stronach przed mnożeniem. Tutaj mianowniki są stałymi niezerowymi liczbami; równania z niewiadomą w mianowniku wymagają dodatkowych warunków.Teraz sprawdź swoje rozumienie
Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.
Zadanie 1
Wskazówka
Pomnóż także liczbę −1 przez 4.
Rozwiązanie i kontrola
x − 4 = 8, więc x = 12. Kontrola: 12/4 − 1 = 2.
Zadanie 2
Wskazówka
Pomnóż całe równanie przez 10.
Rozwiązanie i kontrola
3x + 6 = 21; 3x = 15; x = 5. Kontrola: 1,5 + 0,6 = 2,1.
Zadanie 3
Wskazówka
Mnożenie przez 3 pozostawi cały licznik.
Rozwiązanie i kontrola
x + 2 = 15; x = 13. Kontrola: (13 + 2)/3 = 5.
Zadanie 4
Wskazówka
Wspólny mianownik to 6.
Rozwiązanie i kontrola
3x + 2x = 60; 5x = 60; x = 12. Kontrola: 6 + 4 = 10.
Zadanie 5
Wskazówka
0,25 jest jedną czwartą; możesz pomnożyć przez 4.
Rozwiązanie i kontrola
x − 2 = 4, więc x = 6. Kontrola: 1,5 − 0,5 = 1.
Najważniejsze zależności
Wspólny mianownik jest wygodnym mnożnikiem, nie nową regułą równań. Mnożenie obejmuje wszystkie składniki obu stron, a nawias chroni cały licznik.
