Wyrażenia algebraiczne i równania • lekcja 13 z 18
13. Równania wymagające uproszczenia (nawiasy, redukcja)
Nawias może ukrywać proste równanie. Najpierw uporządkuj obie strony, a dopiero potem wybierz działania, które pozostawią niewiadomą samą.
Po tej lekcji: rozwiążesz równanie wymagające rozwinięcia nawiasów i redukcji, również z minusem przed nawiasem.Na początek: umiesz mnożyć przez nawias, redukować wyrazy i rozwiązywać proste równania liniowe.
Dwa rodzaje pracy
Uproszczenie wyrażenia po jednej stronie nie zmienia jego wartości: 2(x + 3) + x można zastąpić 3x + 6. Natomiast odejmowanie 6 wymaga działania po obu stronach równania. Rozróżniaj te sytuacje, aby nie zmieniać warunku zadania.
Od nawiasu do rozwiązania
Rozwiąż 2(x + 3) + x = 18.
- Rozwiń nawias: 2x + 6 + x = 18.
- Zredukuj lewą stronę: 3x + 6 = 18.
- Odejmij 6 od obu stron: 3x = 12.
- Podziel przez 3: x = 4.
- Sprawdź początkowy zapis: 2(4 + 3) + 4 = 14 + 4 = 18.
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":30,"y":12,"width":380,"height":55,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":46,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"2(x + 3) + x = 18"}},{"type":"line","attrs":{"x1":85,"y1":72,"x2":85,"y2":94,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"80,88 90,88 85,96","fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":250,"y":100,"text-anchor":"middle","font-size":17,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"rozwiń nawias"}},{"type":"rect","attrs":{"x":30,"y":122,"width":380,"height":55,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":156,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"2x + 6 + x = 18"}},{"type":"line","attrs":{"x1":85,"y1":182,"x2":85,"y2":204,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"80,198 90,198 85,206","fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":250,"y":210,"text-anchor":"middle","font-size":17,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"zredukuj wyrazy"}},{"type":"rect","attrs":{"x":30,"y":232,"width":380,"height":55,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":266,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"3x + 6 = 18"}},{"type":"line","attrs":{"x1":85,"y1":292,"x2":85,"y2":314,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"80,308 90,308 85,316","fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":250,"y":320,"text-anchor":"middle","font-size":17,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"odejmij 6, podziel przez 3"}},{"type":"rect","attrs":{"x":30,"y":342,"width":380,"height":55,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":376,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"x = 4"}}]}
Minus obejmuje wszystkie wyrazy
W równaniu 10 − (2x − 3) = 5 mnożymy zawartość nawiasu przez −1. Powstaje 10 − 2x + 3 = 5, czyli 13 − 2x = 5. Odejmujemy 13: −2x = −8. Dzielimy przez −2: x = 4. Kontrola: 10 − (8 − 3) = 10 − 5 = 5.
Gdy nawiasy są po obu stronach, nadal stosujemy tę samą strategię. Dla 3(x − 1) = 2(x + 2) mamy 3x − 3 = 2x + 4. Odejmując 2x i dodając 3, otrzymujemy x = 7. Kontrola: 3 · 6 = 2 · 9 = 18.
Gdy niewiadoma znika
Równanie 2(x + 3) = 2x + 6 po rozwinięciu ma identyczne strony. Każde x jest rozwiązaniem. Z kolei 2(x + 3) = 2x + 5 prowadzi do 6 = 5, więc nie ma rozwiązań. Nie dopisuj x = 0 tylko dlatego, że wyrazy z x się zredukowały.
Sprawdzenie w ostatnim równaniu nie wykryje błędu popełnionego wcześniej. Jeśli ktoś błędnie rozwinie 3(x − 2) jako 3x − 2, może poprawnie rozwiązać już inne równanie. Dlatego kontroluj wynik w pierwszym zapisie, z oryginalnymi nawiasami.Przed kolejnym krokiem warto zadać jedno pytanie: czy tylko zapisuję tę samą stronę inaczej, czy wykonuję działanie zmieniające jej wartość? W drugim przypadku trzeba zrobić to samo po drugiej stronie.
Teraz sprawdź swoje rozumienie
Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.
Zadanie 1
Wskazówka
Rozwiń 4(x − 1) jako 4x − 4.
Rozwiązanie i kontrola
4x − 4 + 2 = 14; 4x − 2 = 14; 4x = 16; x = 4. Kontrola: 4 · 3 + 2 = 14.
Zadanie 2
Wskazówka
Po rozwinięciu połącz 6x i −x.
Rozwiązanie i kontrola
6x + 3 − x = 18; 5x + 3 = 18; 5x = 15; x = 3. Kontrola: 3 · 7 − 3 = 18.
Zadanie 3
Wskazówka
Minus zmienia znaki obu wyrazów nawiasu.
Rozwiązanie i kontrola
12 − x − 5 = 4; 7 − x = 4; −x = −3; x = 3. Kontrola: 12 − 8 = 4.
Zadanie 4
Wskazówka
Rozwiń obie strony.
Rozwiązanie i kontrola
2x + 8 = 3x − 3; 11 = x. Kontrola: 2 · 15 = 3 · 10 = 30.
Zadanie 5
Wskazówka
Czy po redukcji zostaje prawdziwe zdanie?
Rozwiązanie i kontrola
4x − 8 = 4x − 7 daje −8 = −7. Równanie jest sprzeczne: brak rozwiązań.
Najważniejsze zależności
Najpierw uprość każdą stronę bez zmiany jej wartości. Potem rozwiązuj równanie działaniami po obu stronach. Jeżeli niewiadoma zniknie, oceń pozostałą równość zamiast dzielić przez zero.
