Rozwiązywanie równań z nawiasami — rozszerzony materiał dla ucznia

Cel: po przerobieniu materiału uczeń potrafi rozwiązywać równania wymagające rozwinięcia nawiasów, redukcji wyrazów podobnych i uporządkowania wyrażeń.

Podstawowa idea

Gdy w równaniu występują nawiasy, najczęściej zaczynamy od zastosowania własności rozdzielności mnożenia względem dodawania (własność dystrybutywna), czyli:

\[ a(b+c)=a\cdot b + a\cdot c. \]

Następnie porządkujemy wyrazy (łączymy wyrazy podobne), przekształcamy równanie tak, by zmienna była po jednej stronie, a liczby po drugiej, i dzielimy przez współczynnik stojący przy zmiennej.

Standardowe kroki (procedura)

1. Rozwiń nawiasy używając dystrybutywności.
2. Połącz wyrazy podobne po obu stronach równania.
3. Przenieś wszystkie wyrazy zawierające zmienną na jedną stronę (dodawanie/odejmowanie).
4. Przenieś wyrazy stałe na drugą stronę.
5. Podziel obie strony przez współczynnik przy zmiennej.
6. Sprawdź rozwiązanie podstawiając je do pierwotnego równania.

Zapis kroków w skrócie:

\[ \text{rozwiń} \Rightarrow \text{redukcja} \Rightarrow \text{przenieś} \Rightarrow \text{dziel} \Rightarrow \text{sprawdź} \]

Przykład 1 — równanie proste

Rozwiążemy:

\[ 2(x+3)=18. \]

Kroki:

\[ \begin{aligned} &2(x+3)=18 &&\text{(rozwiń nawias)}\\ &\Rightarrow 2\cdot x + 2\cdot 3 = 18 &&\Rightarrow 2x+6=18\\ &\Rightarrow 2x = 18-6 &&\text{(odejmujemy 6 od obu stron)}\\ &\Rightarrow 2x = 12\\ &\Rightarrow x = 6 &&\text{(dzielimy obie strony przez 2)} \end{aligned} \]

Sprawdzenie:

\[2(6+3)=2\cdot 9=18,\]

więc rozwiązanie \(x=6\) jest poprawne.

Przykład 2 — dwa nawiasy i redukcja

Rozwiążemy:

\[ 3(x-2)+4(x+1)=11. \]

Kroki:

\[ \begin{aligned} &3(x-2)+4(x+1)=11 &&\text{(rozwiń oba nawiasy)}\\ &\Rightarrow 3x-6 + 4x+4 = 11 &&\text{(teraz połącz wyrazy podobne)}\\ &\Rightarrow (3x+4x)+(-6+4) = 11\\ &\Rightarrow 7x -2 = 11 &&\text{(przenieś -2 na prawą stronę)}\\ &\Rightarrow 7x = 13\\ &\Rightarrow x = \frac{13}{7} &&\text{(lub }x\approx1{,}857\text{)} \end{aligned} \]

Sprawdzenie przez podstawienie do pierwotnego równania upewni nas, że wynik jest poprawny.

Przykład 3 — nawias i dzielenie

Rozwiąż:

\[\frac{x+4}{2}=3.\]

Kroki (zapisać w słowach: pomnóż obie strony przez 2):

\[ \begin{aligned} &\frac{x+4}{2}=3\\ &\Rightarrow x+4 = 6 &&\text{(mnożymy obie strony przez 2)}\\ &\Rightarrow x = 2. \end{aligned} \]

Sprawdzenie: \((2+4)/2=6/2=3.\)

(Uwaga: jeśli wolisz unikać zapisu ułamkowego w LaTeX, można zapisać równanie jako \(0{,}5(x+4)=3\) i postępować podobnie.)

Typowe błędy i uwagi

• Nie rozwiniesz poprawnie nawiasu: pamiętaj, że mnożysz każdy wyraz wewnątrz nawiasu przez współczynnik przed nawiasem.
• Nie łączysz wyrazów podobnych (np. \(3x\) i \(5x\) to \(8x\), ale \(3x\) i \(5\) nie są podobne).
• Dzielenie przez zero: jeśli po redukcji współczynnik przy zmiennej wynosi 0, możliwe są trzy sytuacje:
  • otrzymasz tożsamość (np. \(0=0\)) — nieskończenie wiele rozwiązań,
  • otrzymasz sprzeczność (np. \(0=5\)) — brak rozwiązań,
  • w przeciwnym wypadku normalne jedno rozwiązanie.
• Zawsze sprawdzaj rozwiązanie podstawiając je do oryginalnego równania — to łatwy sposób na wychwycenie pomyłek.

Krótkie zadania do samodzielnego rozwiązania

1. Rozwiąż \(4(x+1)=20\).
   
2. Rozwiąż \(2(x-3)+5=3x+1\).
   
3. Rozwiąż \((x-2)/3=4\).
   

Odpowiedzi:

1. \(x=4\).
2. \(2x-6+5=3x+1 \Rightarrow 2x-1=3x+1 \Rightarrow -1-1=x \Rightarrow x=-2.\) (Po przegrupowaniu: \(2x-3x=1+1 \Rightarrow -x=2 \Rightarrow x=-2\).) 3. \(x-2=12 \Rightarrow x=14.\)

Wskazówki do samodzielnej nauki

• Ćwicz na przykładach o różnym stopniu trudności: najpierw pojedynczy nawias, potem dwa nawiasy, potem równania z ułamkami.
• Zapisuj każdy krok (krótkie komentarze przy krokach pomagają wykryć błędy).
• Po rozwiązaniu zadania zawsze wykonaj szybkie sprawdzenie przez podstawienie.

Powodzenia — praktyka czyni mistrza!