Wyrażenia algebraiczne i równania • lekcja 12 z 18
12. Rozwiązywanie równań liniowych krok po kroku
Rozwiązywanie równania nie polega na przerzucaniu symboli. Każdy krok ma zachować ten sam zbiór rozwiązań. Dlatego działamy po obu stronach równocześnie.
Po tej lekcji: rozwiążesz równanie liniowe z niewiadomą po jednej lub obu stronach i sprawdzisz otrzymaną liczbę.Na początek: potrafisz redukować wyrazy podobne i sprawdzać kandydata na rozwiązanie.
Co zachowuje rozwiązania?
Nie dzielimy przez zero. Nie mnożymy obu stron przez zero podczas rozwiązywania, bo powstałoby 0 = 0 niezależnie od pierwotnego warunku. Nie dzielimy też bez namysłu przez x: x może być zerem, a wtedy moglibyśmy zgubić rozwiązanie.
Odwróć działania
Rozwiąż 3x − 5 = 16.
- Dodaj 5 do obu stron: 3x − 5 + 5 = 16 + 5, czyli 3x = 21.
- Podziel obie strony przez 3: x = 7.
- Sprawdź w początku: 3 · 7 − 5 = 21 − 5 = 16.
Najpierw cofamy odejmowanie 5, dopiero potem mnożenie przez 3. Można wybrać inną poprawną drogę, ale ta utrzymuje proste liczby.
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":30,"y":12,"width":380,"height":55,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":46,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"3x − 5 = 16"}},{"type":"line","attrs":{"x1":85,"y1":72,"x2":85,"y2":94,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"80,88 90,88 85,96","fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":250,"y":100,"text-anchor":"middle","font-size":17,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"+5 po obu stronach"}},{"type":"rect","attrs":{"x":30,"y":122,"width":380,"height":55,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":156,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"3x = 21"}},{"type":"line","attrs":{"x1":85,"y1":182,"x2":85,"y2":204,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"polygon","attrs":{"points":"80,198 90,198 85,206","fill":"#1769D3"}},{"type":"text","attrs":{"x":250,"y":210,"text-anchor":"middle","font-size":17,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":":3 po obu stronach"}},{"type":"rect","attrs":{"x":30,"y":232,"width":380,"height":55,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":266,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"x = 7"}}]}
Niewiadoma po obu stronach
Zbierz wyrazy z x po jednej stronie
Rozwiąż 5x + 2 = 3x + 10.
- Odejmij 3x po obu stronach: 2x + 2 = 10.
- Odejmij 2 po obu stronach: 2x = 8.
- Podziel przez 2: x = 4.
- Kontrola: lewa 5 · 4 + 2 = 22; prawa 3 · 4 + 10 = 22.
Zwrot „przenieś 3x na lewą stronę ze zmienionym znakiem” jest skrótem odejmowania 3x od obu stron. Rozumienie tego kroku pomaga wyjaśnić, skąd bierze się minus. Zawsze możesz wrócić do pełnego zapisu.
Ujemny współczynnik nie jest przeszkodą
Dla 9 − 2x = 1 odejmujemy 9: −2x = −8. Dzielimy obie strony przez −2: x = 4. Nie wolno zgubić minusa i dzielić tylko przez 2. Sprawdzenie: 9 − 2 · 4 = 1.
Jeśli po redukcji otrzymasz 0x = 0, każda liczba spełnia równanie. Jeśli otrzymasz 0x = 5, nie ma rozwiązań. W żadnym z tych przypadków nie dziel przez współczynnik 0. Najpierw rozpoznaj, jaki warunek został.Teraz sprawdź swoje rozumienie
Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.
Zadanie 1
Wskazówka
Najpierw odejmij 7 po obu stronach.
Rozwiązanie i kontrola
4x = 24, więc x = 6. Sprawdzenie: 4 · 6 + 7 = 31.
Zadanie 2
Wskazówka
Odejmij 8; potem dziel przez −3.
Rozwiązanie i kontrola
−3x = −9, więc x = 3. Kontrola: 8 − 9 = −1.
Zadanie 3
Wskazówka
Odejmij 2x od obu stron.
Rozwiązanie i kontrola
4x − 3 = 13; 4x = 16; x = 4. Kontrola obu stron: 21 = 21.
Zadanie 4
Wskazówka
Dodaj x do obu stron i odejmij 1.
Rozwiązanie i kontrola
7 = 3x + 1; 6 = 3x; x = 2. Kontrola: 7 − 2 = 2 · 2 + 1 = 5.
Zadanie 5
Wskazówka
Iloczyn z zerem zawsze wynosi zero.
Rozwiązanie i kontrola
Pierwszy warunek spełnia każda liczba x. Drugi nie jest spełniony przez żadną liczbę. Nie wolno dzielić przez 0.
Najważniejsze zależności
Wykonuj tę samą operację po obu stronach. Zbierz wyrazy z niewiadomą, liczby stałe i dopiero dziel przez niezerowy współczynnik. Odpowiedź sprawdzaj w równaniu początkowym.
