Rozwiązywanie równań typu \(3x + 5 = 14\). Działania równoważne

Cel: Uczeń rozwiązuje równania liniowe prostymi przekształceniami.

Co to jest równanie liniowe?

• Równanie liniowe w jednej niewiadomej to równanie postaci \(ax + b = c\), gdzie \(a\), \(b\), \(c\) są liczbami, a \(a \neq 0\).
• Celem jest znalezienie wartości \(x\), która sprawia, że obie strony równania są równe.

Zasada działań równoważnych

• Możemy wykonać dowolną operację po obu stronach równania, pod warunkiem że operacja ta stosowana jest w identyczny sposób po obu stronach. Takie operacje nie zmieniają zbioru rozwiązań.
• Typowe dozwolone operacje:
  • dodać lub odjąć tę samą liczbę: jeżeli \(A = B\), to \(A + k = B + k\).
  • pomnożyć lub podzielić przez tę samą niezerową liczbę: jeżeli \(A = B\), to \(kA = kB\) dla \(k \neq 0\).
• Dzięki temu można „izolować” niewiadomą na jednej stronie równania.

Przykład krok po kroku: \(3x + 5 = 14\)

1. Chcemy pozbyć się stałej \(+5\) przy \(x\). Odejmujemy 5 od obu stron: \[ 3x + 5 = 14 \Rightarrow 3x + 5 - 5 = 14 - 5 \]
2. Upraszczamy: \[ 3x = 9 \]
3. Teraz dzielimy obie strony przez współczynnik przy \(x\), czyli przez 3: \[ x = \frac{9}{3} = 3 \]
4. Sprawdzenie: podstawiamy \(x = 3\) do równania wyjściowego: \[ 3\cdot 3 + 5 = 9 + 5 = 14 \] Skoro lewa strona równa się prawej, \(x=3\) jest poprawnym rozwiązaniem.

Drugi przykład (inny typ): \(-2x + 7 = 1\)

1. Odejmujemy 7 od obu stron: \[ -2x + 7 - 7 = 1 - 7 \Rightarrow -2x = -6 \]
2. Dzielimy przez \(-2\): \[ x = \frac{-6}{-2} = 3 \]
3. Sprawdzenie: \(-2\cdot 3 + 7 = -6 + 7 = 1\) — zgadza się.

Przykład z ułamkiem: \(\frac{1}{2}x - 3 = 5\)

1. Dodajemy 3 do obu stron: \[ \frac{1}{2}x = 8 \]
2. Mnożymy obie strony przez 2 (aby pozbyć się \(\frac{1}{2}\)): \[ x = 16 \]
3. Sprawdzenie: \(\frac{1}{2}\cdot 16 - 3 = 8 - 3 = 5\).

Częste błędy i wskazówki

• Nie zapomnij wykonać tej samej operacji po obu stronach równania.
• Gdy dzielisz przez liczbę ujemną, znak nierówności zmienia się jedynie w nierównościach — tutaj, w równaniach, nie ma zmiany znaku.
• Najpierw upraszczaj wszystkie wyrażenia (usunąć nawiasy, zredukować podobne wyrazy), potem izoluj niewiadomą.
• Zawsze sprawdzaj otrzymane rozwiązanie podstawiając je do równania.

Ćwiczenia (spróbuj samodzielnie, potem sprawdź rozwiązania)

1. Rozwiąż \(4x - 2 = 10\).
2. Rozwiąż \(-3x + 4 = 1\).
3. Rozwiąż \(\frac{2}{3}x + 5 = 11\).

Rozwiązania

1. \(4x - 2 = 10 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3\).
2. \(-3x + 4 = 1 \Rightarrow -3x = -3 \Rightarrow x = 1\).
3. \(\frac{2}{3}x + 5 = 11 \Rightarrow \frac{2}{3}x = 6 \Rightarrow x = 6\cdot \frac{3}{2} = 9\).

Podsumowanie

• Klucz do rozwiązywania równań liniowych to stosowanie działań równoważnych: odejmowanie/dodawanie i mnożenie/dzielenie po obu stronach.
• Zawsze upraszczaj, izoluj niewiadomą i sprawdzaj wynik przez podstawienie.