Definicja równania i jak sprawdzić rozwiązanie

Równanie to zdanie matematyczne zawierające niewiadome (zwykle oznaczane literami), w którym podaje się, że dwie wyrażenia są sobie równe. Przykład prostego równania: \(2x+3=7\). Rozwiązaniem równania jest każda liczba, która po podstawieniu za niewiadomą sprawia, że lewa strona równania staje się równa prawej stronie.

Cel: po tej krótkiej lekcji uczeń powinien rozumieć, czym jest równanie i umieć sprawdzić, czy dana liczba jest rozwiązaniem.

Krok po kroku — jak sprawdzić, czy liczba jest rozwiązaniem

1. Zapisz równanie i podaną liczbę, którą chcesz sprawdzić (np. \(x=2\)).
2. Podstaw tę liczbę we wszystkich miejscach, gdzie występuje niewiadoma w równaniu.
3. Wykonaj obliczenia (uproszcz wyrażenie) po obu stronach równania.
4. Porównaj wyniki:
   • jeśli lewa i prawa strona są równe, to podana liczba jest rozwiązaniem;
   • jeśli nie są równe, to podana liczba nie jest rozwiązaniem;
   • jeśli po podstawieniu pojawia się wyrażenie nieokreślone (np. dzielenie przez 0), to liczba nie jest dopuszczalna w dziedzinie równania i nie może być rozwiązaniem.

Przykłady z objaśnieniem

Przykład 1 — rozwiązanie

Sprawdźmy, czy \(x=2\) jest rozwiązaniem równania \(2x+3=7\).

1. Podstawiamy: lewa strona staje się \(2\cdot 2 + 3\).
2. Obliczamy: \(2\cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7\).
3. Porównujemy: prawa strona to \(7\). Skoro \(7=7\), to \(x=2\) jest rozwiązaniem równania.

Przykład 2 — nie jest rozwiązaniem

Sprawdźmy, czy \(x=1\) jest rozwiązaniem \(x^2-4=0\).

1. Podstawiamy: \(1^2 - 4\).
2. Obliczamy: \(1 - 4 = -3\).
3. Porównujemy: prawa strona to \(0\), a lewa to \(-3\). Ponieważ \(-3 \neq 0\), więc \(x=1\) nie jest rozwiązaniem.

Przykład 3 — uwaga na dziedzinę

Sprawdźmy \(x=0\) w równaniu \( \frac{1}{x}=2 \).

1. Podstawiamy: otrzymujemy \( \frac{1}{0} \), które jest nieokreślone.
2. Otrzymujemy więc wyrażenie poza dziedziną (nie wolno dzielić przez 0), zatem \(x=0\) nie jest dopuszczalną wartością i nie może być rozwiązaniem.

Specjalne sytuacje

• Tożsamość (równanie prawdziwe dla wszystkich liczb z dziedziny): np.
  \[2(x+1)=2x+2 \Rightarrow 0=0.\]

  Po uproszczeniu otrzymujemy prawdziwe stwierdzenie niezależne od \(x\), więc każde \(x\) z dziedziny spełnia równanie.

• Sprzeczność (równanie nieprawdziwe dla żadnej liczby): np.
  \[x+1=x+2 \Rightarrow 1=2.\]

  Po uproszczeniu otrzymujemy fałsz, więc równanie nie ma rozwiązań.

• Równania z pierwiastkami, ułamkami, logarytmami itp. — zawsze najpierw sprawdź dziedzinę przed podstawieniem (np. pierwiastki parzyste tylko dla argumentów nieujemnych, logarytmy tylko dla argumentów dodatnich, dzielenie przez 0 zabronione).

Krótkie zadanie do samodzielnego sprawdzenia

Sprawdź, czy \(x=3\) jest rozwiązaniem równania \(x^2 - 5x + 6 = 0\).

Podpowiedź kroków:

1. Podstaw \(x=3\): oblicz \(3^2 - 5\cdot 3 + 6\).
2. Wykonaj obliczenia: \(9 - 15 + 6 = 0\).
3. Ponieważ otrzymaliśmy \(0\) po lewej stronie, a prawa strona to \(0\), więc \(x=3\) jest rozwiązaniem.

Na zakończenie — aby sprawdzanie było pewne: zawsze podstawiaj dokładnie, wykonuj działania w porządku (kolejność działań), zwracaj uwagę na dziedzinę i porównuj obie strony równania. Jeśli chcesz, mogę przygotować więcej przykładów lub krótkie zadania do ćwiczeń.