Wyrażenia algebraiczne i równania • lekcja 11 z 18
11. Co to jest równanie? Jak sprawdzić rozwiązanie?
Wyrażenie mówi, co obliczyć. Równanie stawia warunek: dwie strony mają mieć tę samą wartość. Rozwiązaniem jest liczba, która rzeczywiście spełnia ten warunek.
Po tej lekcji: sprawdzisz, czy liczba jest rozwiązaniem równania, i odróżnisz równanie z jednym rozwiązaniem, bez rozwiązań oraz prawdziwe dla każdej liczby.Na początek: umiesz obliczać wartości wyrażeń i korzystać z rozdzielności mnożenia.
Dwie strony jednego warunku
Rozważ 2x + 3 = 11. Wyrażenie 2x + 3 to lewa strona, liczba 11 to prawa strona. Szukamy x, dla którego warunek równości jest spełniony. Znak równości nie znaczy „teraz napisz wynik”; łączy dwie wielkości o tej samej wartości.
Sprawdź 4 i 3
- Dla x = 4 lewa strona: 2 · 4 + 3 = 11.
- Prawa strona: 11.
- Obie strony są równe, więc 4 jest rozwiązaniem.
- Dla x = 3 lewa strona to 2 · 3 + 3 = 9, a prawa nadal 11. Zatem 3 nie jest rozwiązaniem.
Każdą stronę licz oddzielnie. Nie zmieniaj podanej liczby w trakcie sprawdzania tylko po to, aby dopasować wynik.
{"version":1,"elements":[{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":30,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"2x + 3 = 11"}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":55,"width":400,"height":90,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":85,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"x = 4: L = 11, P = 11"}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":119,"text-anchor":"middle","font-size":19,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"11 = 11 → rozwiązanie"}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":165,"width":400,"height":90,"fill":"#fff7d7","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":195,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"x = 3: L = 9, P = 11"}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":229,"text-anchor":"middle","font-size":19,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"9 ≠ 11 → nie spełnia"}}]}
Ile rozwiązań może być?
Równanie x + 2 = 5 spełnia tylko x = 3: tylko dodanie 2 do liczby 3 daje 5. Są jednak także inne sytuacje.
Równanie 2(x + 1) = 2x + 2 po rozwinięciu lewej strony daje 2x + 2 = 2x + 2. Jest prawdziwe dla każdej liczby rzeczywistej x. Nazywamy je tożsamościowym. Nie wystarczy sprawdzić dwóch liczb, aby to stwierdzić — uzasadnieniem jest reguła rozdzielności.
Równanie x + 1 = x + 4 nie ma rozwiązań: do tej samej liczby nie można dodać raz 1, raz 4 i otrzymać równych wyników. Po odjęciu x od obu stron zostaje fałsz 1 = 4. Nazywamy takie równanie sprzecznym.
Nie każde równanie ma jedno rozwiązanie. Na przykład x² = 4 spełniają liczby 2 i −2, bo oba kwadraty wynoszą 4. W następnych lekcjach skupiamy się na równaniach liniowych, czyli takich, które po uproszczeniu można zapisać w postaci ax + b = 0.Jeśli w równaniu występuje mianownik z niewiadomą, kandydat musi najpierw spełniać warunek niezerowego mianownika. Nie nazywamy rozwiązaniem liczby, dla której choć jedna strona nie ma wartości.
Teraz sprawdź swoje rozumienie
Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.
Zadanie 1
Wskazówka
Oblicz lewą stronę.
Rozwiązanie i kontrola
Tak: 3 · 5 − 2 = 15 − 2 = 13, czyli tyle co prawa strona.
Zadanie 2
Wskazówka
Podstaw liczbę ujemną w nawiasie.
Rozwiązanie i kontrola
Tak: (−2)² + (−2) = 4 − 2 = 2.
Zadanie 3
Wskazówka
Sprawdź wszystkie trzy osobno.
Rozwiązanie i kontrola
Dla 0 lewa strona to 1, dla 2 to 5, dla 4 to 9. Spośród podanych liczb rozwiązaniem jest tylko 2.
Zadanie 4
Wskazówka
Rozwiń lewy nawias.
Rozwiązanie i kontrola
Tak, z rozdzielności 4(a + 1) = 4a + 4 dla każdej liczby a.
Zadanie 5
Wskazówka
Po odjęciu x porównaj stałe.
Rozwiązanie i kontrola
Nie. Prowadzi do fałszu 2 = 7, więc jest sprzeczne.
Najważniejsze zależności
Rozwiązanie musi dawać równe wartości obu stron po podstawieniu. Równanie może nie mieć rozwiązań lub być prawdziwe dla wszystkich dopuszczalnych liczb; nie zakładaj z góry jednej odpowiedzi.
