Rozwijanie i redukcja wyrażeń typu \( (x+3)(x-5) \)
Cel: Uczeń potrafi wykonać mnożenie dwóch nawiasów (dwumianów) i uprościć powstałe wyrażenie przez redukcję wyrazów podobnych.
Co to jest rozwijanie nawiasów?
Rozwijanie nawiasów oznacza pomnożenie każdego składnika pierwszego nawiasu przez każdy składnik drugiego nawiasu, a następnie uproszczenie otrzymanego wyrażenia przez złączenie wyrazów podobnych (mających tę samą część zmienną i wykładnik).
Dla dwóch dwumianów ogólna zasada to:
\[ (a+b)(c+d)=a\cdot c + a\cdot d + b\cdot c + b\cdot d. \]W praktyce stosuje się czasem skrót FOIL (First, Outer, Inner, Last) — po polsku: pierwsze, zewnętrzne, wewnętrzne, ostatnie — ale ważniejsze jest zrozumienie zasady mnożenia składnik-po-składniku.
Krok po kroku: przykład \( (x+3)(x-5) \)
-
Pomnóż każdy składnik pierwszego nawiasu przez każdy składnik drugiego nawiasu:
\[ (x+3)(x-5)=x\cdot x + x\cdot(-5) + 3\cdot x + 3\cdot(-5). \] -
Wykonaj mnożenia:
\[ = x^2 -5x + 3x -15. \] -
Połącz wyrazy podobne (tu: wyrazy z \(x\)): \(-5x + 3x = -2x\).
\[ = x^2 -2x -15. \]
Wynik: \( (x+3)(x-5) = x^2 -2x -15 \).
Wyjaśnienie pojęć
- Wyraz podobny: wyrażenia, które mają tę samą część literową i wykładnik (np. \(2x\) i \(-5x\) są podobne; \(x^2\) i \(x\) nie są podobne).
- Redukcja: suma lub różnica wyrazów podobnych w celu uproszczenia wyrażenia (jak powyżej: \(-5x+3x=-2x\)).
Krótkie dodatkowe przykłady
Przykład 1:
\[ (x-2)(x+4)=x\cdot x + x\cdot 4 + (-2)\cdot x + (-2)\cdot 4 = x^2 +4x -2x -8 = x^2 +2x -8. \]Przykład 2 (liczbowy sprawdzający poprawność):
Rozwiń \( (x+3)(x-5) \) i sprawdź podstawiając \(x=2\).
- Oryginał: \( (2+3)(2-5)=5\cdot(-3)=-15.\)
- Rozwinięte: \(x^2 -2x -15\) dla \(x=2\) daje \(4 -4 -15 = -15.\)
Wyniki się zgadzają — rozwinięcie jest poprawne.
Wskazówki i pułapki
- Nie zapomnij pomnożyć każdego składnika z pierwszego nawiasu przez każdy składnik drugiego nawiasu.
- Uważaj na znaki (plus/minus) przy mnożeniu liczb.
- Po mnożeniu zawsze sprawdź, czy można połączyć wyrazy podobne, aby uprościć wyrażenie.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
- Rozwiń i uprość: \( (x+1)(x+6) \).
- Rozwiń i uprość: \( (2x-3)(x+5) \).
- Sprawdź wynik z zadania 2 podstawiając \(x=1\).
(Odpowiedzi możesz najpierw spróbować samodzielnie, potem porównać z rozwiązaniem.)
Powodzenia — praktyka rozwijania nawiasów i redukcji wyrazów podobnych bardzo szybko poprawi Twoje umiejętności przy pracy z wyrażeniami algebraicznymi.
