Wyrażenia algebraiczne i równania • lekcja 10 z 18
10. Mnożenie dwóch nawiasów (dwumian·dwumian)
Przy mnożeniu dwóch dwumianów powstają cztery iloczyny. Tabela pomoże je znaleźć, a model pola pokaże, skąd się biorą.
Po tej lekcji: rozwiniesz iloczyn dwóch dwumianów i zredukujesz wynik, pilnując wszystkich czterech iloczynów.Na początek: umiesz mnożyć jednomian przez nawias i redukować wyrazy podobne.
Rozdzielność zastosowana dwa razy
Wyrażenie (x + 2)(x + 3) oznacza, że całą sumę x + 3 mnożymy przez x, a potem przez 2 i dodajemy wyniki. Zatem (x + 2)(x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3). Po ponownym użyciu rozdzielności dostajemy x² + 3x + 2x + 6.
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":90,"y":50,"width":160,"height":160,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"rect","attrs":{"x":250,"y":50,"width":120,"height":160,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"rect","attrs":{"x":90,"y":210,"width":160,"height":80,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"rect","attrs":{"x":250,"y":210,"width":120,"height":80,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":170,"y":34,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"x"}},{"type":"text","attrs":{"x":310,"y":34,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"3"}},{"type":"text","attrs":{"x":63,"y":138,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"x"}},{"type":"text","attrs":{"x":63,"y":258,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"2"}},{"type":"text","attrs":{"x":170,"y":138,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"x²"}},{"type":"text","attrs":{"x":310,"y":138,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"3x"}},{"type":"text","attrs":{"x":170,"y":258,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"2x"}},{"type":"text","attrs":{"x":310,"y":258,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"6"}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":325,"text-anchor":"middle","font-size":19,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"x² + 3x + 2x + 6"}}]}
Na rysunku pole prostokąta jest sumą pól czterech części. Długości wymagają x > 0. Sama tożsamość algebraiczna jest jednak prawdziwa także dla x = 0 i ujemnych x — uzasadnia ją rozdzielność działań, nie ograniczenia modelu geometrycznego.
Minus należy do wyrazu
Rozwiń (x − 4)(x + 2).
- x · x = x².
- x · 2 = 2x.
- (−4) · x = −4x.
- (−4) · 2 = −8.
Dodajemy i redukujemy: x² + 2x − 4x − 8 = x² − 2x − 8. Dla x = 1 sprawdzenie daje (−3) · 3 = −9 oraz 1 − 2 − 8 = −9.
Dwa jednakowe nawiasy też dają cztery iloczyny
W (x + 2)² = (x + 2)(x + 2) otrzymujemy x² + 2x + 2x + 4, czyli x² + 4x + 4. Nie wystarczy podnieść osobno x i 2 do kwadratu. Powstają także dwa „mieszane” iloczyny, w których mnożymy x przez 2.
Można kontrolować liczbę iloczynów tabelą: wiersze odpowiadają x i 2 z pierwszego nawiasu, kolumny — x i 2 z drugiego. Każde przecięcie wiersza z kolumną wymaga jednego iloczynu, nawet jeśli dwa wyniki okażą się takie same.
| · | x | 2 |
|---|---|---|
| x | x² | 2x |
| 2 | 2x | 4 |
Teraz sprawdź swoje rozumienie
Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.
Zadanie 1
Wskazówka
Zapisz cztery iloczyny przed redukcją.
Rozwiązanie i kontrola
x² + 5x + x + 5 = x² + 6x + 5.
Zadanie 2
Wskazówka
Wyraz w pierwszym nawiasie to −3.
Rozwiązanie i kontrola
a² + 4a − 3a − 12 = a² + a − 12.
Zadanie 3
Wskazówka
Pierwszy iloczyn to 2x².
Rozwiązanie i kontrola
2x² − 6x + x − 3 = 2x² − 5x − 3.
Zadanie 4
Wskazówka
To iloczyn dwóch jednakowych nawiasów.
Rozwiązanie i kontrola
y² + 2y + 2y + 4 = y² + 4y + 4.
Zadanie 5
Wskazówka
Porównaj dwa środkowe iloczyny.
Rozwiązanie i kontrola
x² + 2x − 2x − 4 = x² − 4. Środkowe wyrazy są przeciwne, więc ich suma wynosi zero.
Najważniejsze zależności
Dwa wyrazy razy dwa wyrazy oznaczają cztery iloczyny. Zapisz wszystkie ze znakami, dopiero potem redukuj. Kwadrat sumy oznacza dwa jednakowe nawiasy, nie samą sumę kwadratów.
