Stosowanie rozdzielności (dystrybutywność) — rozszerzony materiał

Cel: Uczeń potrafi wymnożyć nawias przez jednomian, rozumie zasadę rozdzielności i potrafi zastosować ją w przykładach z liczbami i literami.

Co to znaczy rozdzielność?

Zasada rozdzielności (dystrybutywności) mówi, że mnożenie przez sumę rozkłada się na sumę iloczynów:

\[ a(b + c) = ab + ac \]

To znaczy: aby pomnożyć jednomian \(a\) przez sumę \(b+c\), mnożymy \(a\) osobno przez każdy składnik nawiasu, a wyniki dodajemy.

Jak krok po kroku wymnożyć jednomian przez nawias

1. Rozpoznaj jednomian (to może być liczba, zmienna lub ich iloczyn, np. \(3\), \(x\), \(4y\)).
2. W nawiasie wypisz wszystkie składniki sumy (np. \(b\), \(c\), \(d\)).
3. Pomnóż jednomian przez pierwszy składnik nawiasu.
4. Pomnóż jednomian przez drugi składnik nawiasu.
5. Powtarzaj, aż przemnożysz przez wszystkie składniki, a następnie zapisz sumę powstałych iloczynów.
6. Jeśli wystąpią wyrazy podobne — je połącz (zredukuj).

Przykłady z liczbami i literami (ze szczegółami)

Przykład 1 — prosty, liczbowy:

\[ 3(4+5) = 3\cdot 4 + 3\cdot 5 = 12 + 15 = 27 \]

Krok po kroku: mnożymy 3 przez 4, później 3 przez 5, potem dodajemy wyniki.

Przykład 2 — jednomian razy wyrażenie z jedną zmienną:

\[ 3(x+4) = 3\cdot x + 3\cdot 4 = 3x + 12 \]

Tutaj mnożymy współczynnik 3 przez każdy składnik nawiasu; przy mnożeniu przez \(x\) zachowujemy \(x\).

Przykład 3 — uwzględnienie znaku minus:

\[ -2(3x - 5) = -2\cdot 3x + (-2)\cdot(-5) = -6x + 10 \]

Zwróć uwagę na znaki: minus przy jednomianie zmienia znak pierwszego iloczynu, a mnożenie dwóch minusów daje plus.

Przykład 4 — mnożenie przez zmienną (powstanie potęgi):

\[ x(2x+3) = x\cdot 2x + x\cdot 3 = 2x^2 + 3x \]

Przy mnożeniu \(x\cdot x\) potęgi się dodają: \(x\cdot x = x^2\).

Przykład 5 — rozdzielność i redukcja wyrazów podobnych (dwa sposoby):

Najpierw rozdzielamy:

\[ 2(x + 3x + 4) = 2\cdot x + 2\cdot 3x + 2\cdot 4 = 2x + 6x + 8. \]

Następnie łączymy wyrazy podobne:

\[ 2x + 6x + 8 = 8x + 8. \]

Można też najpierw zredukować w nawiasie: \(x+3x=4x\), czyli \(2(4x+4)=8x+8\).

Przykład 6 — mnożenie z liczbami dziesiętnymi:

\[ 0.5(6y + 2) = 0.5\cdot 6y + 0.5\cdot 2 = 3y + 1 \]

Jak sprawdzić, czy wynik jest poprawny?

Podstawianie wartości: wybierz jakąś wartość dla zmiennej i porównaj obie strony wyrażenia.

Przykład: sprawdź dla \(x=2\) że \(3(x+4)\) i \(3x+12\) dają ten sam wynik:

• Lewa strona: \(3(2+4)=3\cdot6=18\).
• Prawa strona: \(3\cdot2+12=6+12=18\).

Wynik taki sam, więc rozkład jest poprawny.

Typowe błędy i na co uważać

• Nie zmieniaj kolejności mnożenia, ale pamiętaj o znakach (minusy).
• Nie dziel mnożenia i dodawania; najpierw stosuj rozdzielność dla mnożenia przez sumę.
• Po wymnożeniu zawsze sprawdź, czy możesz połączyć wyrazy podobne.
• Przy mnożeniu zmiennej przez zmienną pamiętaj o potędze (np. \(x\cdot x = x^2\)).

Krótkie ćwiczenia (wykonaj samodzielnie)

1. Wykonaj: \(4(2+3)\)
2. Wykonaj: \(-3(x - 2)\)
3. Wykonaj: \(5(2x + 3x + 1)\)
4. Wykonaj: \(0.2(10a + 5)\)

Rozwiązania:

1. \[ 4(2+3)=4\cdot2+4\cdot3=8+12=20 \]
2. \[ -3(x-2)=-3x+6 \]
3. \[ 5(2x+3x+1)=5\cdot2x+5\cdot3x+5\cdot1=10x+15x+5=25x+5 \]
4. \[ 0.2(10a+5)=0.2\cdot10a+0.2\cdot5=2a+1 \]

Powtórz kilka takich zadań z różnymi liczbami i znakami — praktyka utrwala zasadę rozdzielności.