Wyrażenia algebraiczne i równania • lekcja 9 z 18
9. Mnożenie jednomianu przez nawias
Trzy zestawy, każdy złożony z zeszytu i długopisu, to trzy zeszyty i trzy długopisy. Ta sama zasada wyjaśnia mnożenie przez nawias — każdy składnik trzeba uwzględnić.
Po tej lekcji: pomnożysz jednomian przez sumę algebraiczną i uprościsz otrzymane wyrażenie, także przy ujemnym czynniku.Na początek: umiesz mnożyć liczby ze znakami, porządkować jednomiany i redukować wyrazy podobne.
Jedno mnożenie obejmuje całą grupę
W 3(x + 4) mamy trzy razy tę samą sumę. Rozpisujemy ją: (x + 4) + (x + 4) + (x + 4). Po zebraniu składników otrzymujemy 3x + 12. Nie możemy zostawić samej liczby 4, bo występuje ona w każdym z trzech nawiasów.
{"version":1,"elements":[{"type":"rect","attrs":{"x":100,"y":10,"width":240,"height":55,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":45,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"3(x + 4)"}},{"type":"line","attrs":{"x1":180,"y1":70,"x2":110,"y2":100,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"line","attrs":{"x1":260,"y1":70,"x2":330,"y2":100,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"rect","attrs":{"x":20,"y":110,"width":180,"height":60,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"rect","attrs":{"x":240,"y":110,"width":180,"height":60,"fill":"#DCEBFA","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":110,"y":148,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"3 · x = 3x"}},{"type":"text","attrs":{"x":330,"y":148,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"3 · 4 = 12"}},{"type":"line","attrs":{"x1":110,"y1":175,"x2":190,"y2":205,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"line","attrs":{"x1":330,"y1":175,"x2":250,"y2":205,"stroke":"#1769D3","stroke-width":2}},{"type":"rect","attrs":{"x":90,"y":215,"width":260,"height":50,"fill":"#FFC400","stroke":"#13233F","stroke-width":1.5,"rx":6}},{"type":"text","attrs":{"x":220,"y":247,"text-anchor":"middle","font-size":21,"font-family":"Arial, sans-serif","fill":"#13233F","text-content":"3x + 12"}}]}
Czynnik ujemny
Rozwiń −2(3x − 5).
- Traktuj wyrazy nawiasu jako 3x i −5.
- Pomnóż −2 przez 3x: otrzymasz −6x.
- Pomnóż −2 przez −5: otrzymasz +10.
- Zapisz wynik −6x + 10.
Kontrola dla x = 1: −2 · (3 − 5) = 4 oraz −6 + 10 = 4. Dodatnia dziesiątka wynika z mnożenia dwóch liczb ujemnych, nie z dowolnej „zamiany znaków”.
Gdy czynnik zawiera literę
W 2x(3x + 4) mnożymy także części literowe: 2x · 3x = 6x² oraz 2x · 4 = 8x. Wynik to 6x² + 8x. Kwadrat pojawia się przez mnożenie x · x, a nie przez dodawanie dwóch wyrazów.
Następnie można zredukować podobne wyrazy z resztą wyrażenia. Na przykład 4(2x + 1) − 3x = 8x + 4 − 3x = 5x + 4. Najpierw pozbywamy się nawiasu, potem porządkujemy powstałą sumę.
Sam minus też jest czynnikiem
Zapis −(a − 3) to skrót mnożenia przez −1. Otrzymujemy −a + 3, bo (−1) · a = −a i (−1) · (−3) = 3. Przy plusie przed nawiasem znaki się nie zmieniają: +(a − 3) = a − 3.
Błędny zapis 5(x + 2) = 5x + 2 pomija drugie mnożenie. Dla x = 0 lewa strona to 10, prawa 2. Rysuj pomocnicze połączenie czynnika z każdym wyrazem, dopóki nie masz pewności, że niczego nie pomijasz.Teraz sprawdź swoje rozumienie
Zapisz własne rozwiązanie przed odsłonięciem odpowiedzi. Jeśli nie wiesz, jak zacząć, skorzystaj ze wskazówki. Po sprawdzeniu wyjaśnij własnymi słowami, dlaczego wybrane działanie pasuje do zadania.
Zadanie 1
Wskazówka
Pomnóż 6 także przez −3.
Rozwiązanie i kontrola
6a − 18.
Zadanie 2
Wskazówka
Ujemny czynnik mnoży oba dodatnie składniki.
Rozwiązanie i kontrola
−6y − 12.
Zadanie 3
Wskazówka
Najpierw rozwiń nawias, potem połącz wyrazy z x.
Rozwiązanie i kontrola
6x − 2 + 5x = 11x − 2.
Zadanie 4
Wskazówka
Pamiętaj, że a · a = a².
Rozwiązanie i kontrola
6a² − 15a.
Zadanie 5
Wskazówka
Minus przed nawiasem oznacza czynnik −1.
Rozwiązanie i kontrola
8 − 2x + 3 = 11 − 2x. Dla x = 0 oba zapisy dają 11.
Najważniejsze zależności
Pomnóż czynnik przez każdy wyraz nawiasu wraz z jego znakiem. Potem redukuj wyrazy podobne. Sam minus przed nawiasem jest mnożeniem przez −1.
