Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy zestaw dwóch (lub więcej) równań pierwszego stopnia w tych samych zmiennych. Skupimy się na dwuelementowym układzie z niewiadomymi \(x, y\). Ogólną postać dwóch równań zapisujemy jako:

\[ a_1 x + b_1 y = c_1,\qquad a_2 x + b_2 y = c_2. \]

Gdzie \(a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2\) są danymi stałymi (współczynnikami). Rozwiązaniem układu jest para liczb \((x,y)\), która spełnia jednocześnie oba równania.

Interpretacja geometryczna

Każde z równań liniowych reprezentuje prostą na płaszczyźnie. Z równania ogólnego \(a x + b y = c\) (przy \(b\neq 0\)) można wyrazić funkcję liniową:

\[ y = -\frac{a}{b}\,x + \frac{c}{b}, \]

gdzie współczynnik kierunkowy (nachylenie) prostej wynosi \(-\frac{a}{b}\), a wyraz wolny to \(\frac{c}{b}\). Jeśli \(b=0\), równanie ma postać \(a x = c\) i opisuje prostą pionową \(x=\frac{c}{a}\) (nachylenie nieokreślone).

Szukając rozwiązania układu, poszukujemy punktu przecięcia dwóch prostych. Możliwe są trzy zasadnicze przypadki:

Możliwe przypadki (szczegółowo)

• Dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony).

  Proste mają różne nachylenia i przecinają się w jednym punkcie. Warunek współczynnikowy można zapisać jako

  \[ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}. \]

  Równoważnie, korzystając z metody wyznaczników, definiujemy wyznacznik główny

  \[ \Delta = a_1 b_2 - a_2 b_1. \]

  Jeżeli \(\Delta \neq 0\), to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

• Brak rozwiązań (układ sprzeczny).

  Proste są równoległe, mają takie same nachylenie, ale różnią się przesunięciem (różne wyrazy wolne). Współczynnikowo:

  \[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \quad\text{ale}\quad \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{c_1}{c_2}. \]

  W zapisie wyznacznikowym: \(\Delta = 0\), ale nie wszystkie wyznaczniki odpowiadające składowym są zerowe. Wprowadzamy wyznaczniki pomocnicze (używane w regule Cramera):

  \[ \Delta_x = c_1 b_2 - c_2 b_1,\qquad \Delta_y = a_1 c_2 - a_2 c_1. \]

  Jeśli \(\Delta = 0\) i przynajmniej jedno z \(\Delta_x\) lub \(\Delta_y\) jest różne od zera, układ jest sprzeczny (brak rozwiązań).

• Nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony).

  Obie proste pokrywają się (to to samo równanie). Współczynnikowo mamy proporcjonalność wszystkich trzech współczynników:

  \[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}. \]

  Równoważnie w zapisie wyznacznikowym: \(\Delta = 0\) oraz \(\Delta_x = 0\) i \(\Delta_y = 0\). Wtedy każdy punkt leżący na wspólnej prostej jest rozwiązaniem układu.

Jak praktycznie sprawdzić i rozwiązać układ

1. Oblicz wyznacznik główny

   \[ \Delta = a_1 b_2 - a_2 b_1. \]

2. Jeżeli \(\Delta \neq 0\), układ ma jedno rozwiązanie. Można je znaleźć przez regułę Cramera:

   \[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta},\qquad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \]

   gdzie

   \[ \Delta_x = c_1 b_2 - c_2 b_1,\qquad \Delta_y = a_1 c_2 - a_2 c_1. \]

3. Jeżeli \(\Delta = 0\), sprawdź \(\Delta_x\) i \(\Delta_y\):

   • Jeśli przynajmniej jedno z \(\Delta_x,\Delta_y\) jest różne od zera — układ sprzeczny (0 rozwiązań).
   • Jeśli \(\Delta_x = \Delta_y = 0\) — układ nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań).

4. Uwaga praktyczna: jeśli w którymś równaniu \(b_i = 0\), prosta jest pionowa; jeśli \(a_i = 0\), prosta jest pozioma. Metoda z wyznacznikami działa poprawnie również w tych przypadkach i jest najpewniejsza do uniwersalnej klasyfikacji.

Przykłady (szczegółowo wyjaśnione)

Przykład 1 (jedno rozwiązanie):

Układ

\[ x + y = 4,\qquad x - y = 0. \]

Dodając obie równości otrzymujemy \( (x+y)+(x-y)=4+0 \), czyli \(2x=4\), stąd \(x=2\). Podstawiając \(x=2\) do \(x+y=4\) mamy \(y=2\). Rozwiązanie: \((2,2)\).

Przykład 2 (brak rozwiązań):

Układ

\[ x + y = 4,\qquad x + y = 6. \]

Obie proste mają ten sam współczynnik kierunkowy (oba równania redukują się do \(y=-x+\text{const}\)), ale różne wyrazy wolne — proste są równoległe i nie mają punktu wspólnego. Układ sprzeczny.

Przykład 3 (nieskończenie wiele rozwiązań):

Układ

\[ 2x + 2y = 8,\qquad x + y = 4. \]

Drugie równanie pomnożone przez 2 daje pierwsze, zatem obie proste to ta sama linia \(x+y=4\). Każda para \((x,y)\) spełniająca \(x+y=4\) jest rozwiązaniem układu. Zbiór rozwiązań można zapisać parametrycznie, np.

\[ \{(t,\,4-t)\colon t\in\mathbb{R}\}. \]

Krótka ściągawka

• Oblicz \(\Delta = a_1 b_2 - a_2 b_1\).
• Jeżeli \(\Delta \neq 0\) — jedno rozwiązanie (Cramer daje \(x,y\)).
• Jeżeli \(\Delta = 0\) i nie wszystkie wyznaczniki są zerowe — brak rozwiązań.
• Jeżeli wszystkie wyznaczniki są zerowe — nieskończenie wiele rozwiązań (równania proporcjonalne).

Co dalej?

W następnym temacie można przejść do algorytmicznych metod rozwiązywania układów, takich jak podstawianie, metoda przeciwnych współczynników (eliminacja) oraz metoda eliminacji Gaussa dla układów większych rozmiarów. Jednak zawsze warto zachować interpretację geometryczną — to ułatwia szybkie zrozumienie, jaki rodzaj rozwiązań możemy się spodziewać.