Równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Ogólna postać

Równanie pierwszego stopnia (liniowe) w zmiennych \(x\) i \(y\) ma postać

\[ Ax + By + C = 0 \]

gdzie \(A, B, C\) są stałymi, przy czym nie mogą jednocześnie być zerowe \(A = 0\) i \(B = 0\) (wtedy równanie albo jest sprzeczne, albo jest tożsamością). W normalnym przypadku co najmniej jedna z liczb \(A\) lub \(B\) jest różna od zera.

Przypadki degenerate i ich interpretacja

• Jeżeli \(A = 0\) i \(B = 0\):
  • Jeśli \(C = 0\), to równanie \[ 0x + 0y + 0 = 0 \] jest prawdziwe dla dowolnych \((x,y)\) — rozwiązaniem jest cała płaszczyzna.
  • Jeśli \(C \neq 0\), to równanie \[ 0x + 0y + C = 0 \] jest sprzeczne — brak rozwiązań.
• Jeżeli \(A\) i \(B\) nie są jednocześnie zerowe, równanie opisuje prostą na płaszczyźnie kartezjańskiej (zestaw wszystkich punktów \((x,y)\) spełniających równanie).

Przekształcenie do postaci kierunkowej

Jeżeli \(B \neq 0\), możemy rozwiązać równanie względem \(y\) i otrzymać postać kierunkową (tzw. postać y = ax + b):

\[ By = -Ax - C \]

\[ y = -\frac{A}{B}\,x - \frac{C}{B} \]

W tej postaci współczynnik kierunkowy (nachylenie) prostej to \(a = -\frac{A}{B}\), a wyraz wolny (przecięcie z osią OY) to \(b = -\frac{C}{B}\).

Jeżeli \(B = 0\) (a \(A \neq 0\)), mamy prostą pionową:

\[ Ax + C = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{C}{A} \]

Taka prosta jest równoległa do osi OY i nie jest wykresem funkcji postaci \(y = f(x)\), ponieważ dla jednej wartości \(x\) istnieje wiele wartości \(y\).

Rzutowanie geometryczne i normalny wektor

Równanie \[ Ax + By + C = 0 \] można interpretować wektorowo: wektor \((A,B)\) jest wektorem normalnym do prostej — jest prostopadły do każdego wektora stycznego do tej prostej. Z tego wynika, że zmiana współczynników \(A, B, C\) o wspólny czynnik nie zmienia prostej: jeśli pomnożymy wszystkie współczynniki przez skalar \(k \neq 0\), to

\[ Ax + By + C = 0 \quad \Leftrightarrow \quad kAx + kBy + kC = 0. \]

Odległość prostej \[ Ax + By + C = 0 \] od początku układu współrzędnych (punktu \((0,0)\)) wyraża się wzorem:

\[ d = \frac{|C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \]

Wzór ten wynika z własności iloczynu skalarnego i normalizacji wektora normalnego \((A,B)\).

Jak narysować prostą — metoda praktyczna

Najprościej znaleźć dwa punkty należące do prostej, a następnie poprowadzić przez nie prostą. Najwygodniej obliczyć przecięcia z osiami:

• Przecięcie z osią OY (ustawiamy \(x = 0\)): jeżeli \(B \neq 0\), to \[ By + C = 0 \quad\Rightarrow\quad y = -\frac{C}{B}, \] punkt przecięcia: \((0,\; -\frac{C}{B})\).
• Przecięcie z osią OX (ustawiamy \(y = 0\)): jeżeli \(A \neq 0\), to \[ Ax + C = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{C}{A}, \] punkt przecięcia: \((-\frac{C}{A},\; 0)\).

Jeżeli któryś z współczynników jest zerowy, otrzymujemy specjalne proste:

• Jeśli \(A = 0\) i \(B \neq 0\): prosta pozioma \[ y = -\frac{C}{B} \] (równoległa do osi OX).
• Jeśli \(B = 0\) i \(A \neq 0\): prosta pionowa \[ x = -\frac{C}{A} \] (równoległa do osi OY).

Przykład 1 — szczegółowo

Rozważ równanie

\[ 2x + 3y = 6. \]

Krok 1 — przekształcenie do postaci kierunkowej:

\[ 3y = -2x + 6 \quad\Rightarrow\quad y = -\frac{2}{3}x + 2. \]

Stąd współczynnik kierunkowy to \(a = -\tfrac{2}{3}\), a wyraz wolny \(b = 2\). Rysując prostą, możemy wyznaczyć przecięcia z osiami:

• Dla \(x=0\): \(y = 2\) → punkt \((0,2)\).
• Dla \(y=0\): rozwiązujemy \(0 = -\tfrac{2}{3}x + 2\). Mnożąc przez 3: \(0 = -2x + 6\), stąd \(x = 3\) → punkt \((3,0)\).

Wystarczą te dwa punkty, aby narysować prostą. Możemy też sprawdzić dodatkowy punkt: dla \(x = -3\)

\[ y = -\tfrac{2}{3}(-3) + 2 = 2 + 2 = 4, \]

więc punkt \((-3,4)\) również leży na tej prostej. Wszystkie takie pary \((x,y)\) są rozwiązaniami równania — jest ich nieskończenie wiele.

Przykład 2 — prosta pionowa

Co przedstawia równanie

\[ x = 4 ? \]

Jest to przypadek, gdzie \(A = 1\), \(B = 0\), \(C = -4\). Równanie opisuje zbiór punktów o współrzędnej \(x\) równej 4, czyli prostą pionową przechodzącą przez punkt \((4,0)\). Nie jest to wykres funkcji \(y=f(x)\), ponieważ dla \(x=4\) dopuszczalnych jest wiele wartości \(y\).

Dodatkowe uwagi i wskazówki

1. Każda prosta (oprócz opisanych przypadków sprzecznych i tożsamościowych) może być zapisana równaniem liniowym \(Ax+By+C=0\); odwrotnie — każde takie równanie (z \(A\) i \(B\) nieobydwoma zerowymi) opisuje jedną prostą.
2. Równanie prostej jest niejednoznaczne w sensie współczynników: mnożąc \(A,B,C\) przez ten sam niezerowy skalar otrzymamy równanie tej samej prostej. W praktyce często normalizuje się współczynniki (np. ustalając \(\sqrt{A^{2}+B^{2}} = 1\) albo ustalając pierwszy niezerowy z \(A,B\) równy 1).
3. Jeżeli rysujesz wykres ręcznie, dobrym zwyczajem jest znaleźć przecięcia z osiami i jeszcze jeden dodatkowy punkt (lub użyć kierunku prostej wynikającego z jej nachylenia), aby narysować prostą dokładniej.
4. Interpretacja wektorowa (wektor normalny) jest użyteczna przy pracy z kątem nachylenia prostej, odległością punktu od prostej oraz przy obliczeniach geometrycznych (np. rzut prostopadły).

Ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania

• Wyznacz przecięcia z osiami i narysuj proste opisane równaniami: \[ x + 2y - 4 = 0,\quad 3x - y + 3 = 0,\quad y = -1. \]
• Sprawdź, czy punkty \((1,1)\) i \((4,-2)\) leżą na prostej \[ 2x + y - 3 = 0. \]
• Podaj równanie prostej przechodzącej przez punkty \((0,2)\) i \((3,0)\).

Podsumowanie: Równanie liniowe \(Ax+By+C=0\) to uniwersalny sposób opisu prostych na płaszczyźnie. Zrozumienie przekształcenia do postaci kierunkowej, interpretacji wektora normalnego oraz prostych sposobów kreślenia (przecięcia z osiami) pozwala szybko analizować i rysować te proste oraz rozwiązywać powiązane zadania geometryczne i algebraiczne.