Funkcje określone odcinkami i wartość bezwzględna — wyjaśnienie i przykłady

Do tej pory rozważaliśmy „czyste” funkcje liniowe opisane jednym wzorem \(ax+b\). Istnieją jednak funkcje, których wykres składa się z kilku odcinków prostych — na różnych przedziałach dziedziny przyjmują one różne wzory. Mówimy wtedy, że funkcja jest określona odcinkami. Szczególnym i często spotykanym przypadkiem są funkcje z wartością bezwzględną, które można rozłożyć na dwa (lub więcej) prostych fragmentów.

Wartość bezwzględna jako funkcja określona odcinkami

Przykład podstawowy to funkcja \(y = |x|\). Nie jest ona zapisana jednym wzorem liniowym, ale można ją zapisać osobno dla argumentów dodatnich i ujemnych. Z definicji wartości bezwzględnej wynika, że:

• jeśli \(x \ge 0\), to \( |x| = x\),
• jeśli \(x < 0\), to \( |x| = -x\).

Wykres \((y=|x|)\) składa się z dwóch półprostych: dla \(x \ge 0\) mamy prostą \(y=x\) (nachylenie \(1\)), a dla \(x<0\) prostą \(y=-x\) (nachylenie \(-1\)). Obie części łączą się w punkcie \((0,0)\), tworząc charakterystyczny wykres w kształcie litery „V”. Punkt \((0,0)\) to wierzchołek — tam funkcja zmienia swój wzór (dlatego też w analizie zmienia się pochodna, choć funkcja pozostaje ciągła).

Uwaga praktyczna: każdą funkcję zawierającą wartość bezwzględną można rozłożyć w analogiczny sposób, dzieląc dziedzinę na przedziały według miejsc zerowych wyrażenia pod wartością bezwzględną.

Przykład: \(f(x)=|2x-4|\)

Należy znaleźć, kiedy wyrażenie \(2x-4\) zmienia znak. Rozwiązujemy \(2x-4=0\), stąd \(x=2\). To dzieli dziedzinę na dwa przedziały:

• dla \(x \ge 2\): \(f(x)=2x-4\) (wyrażenie nieujemne);
• dla \(x < 2\): \(f(x)=-(2x-4)=4-2x\) (wyrażenie ujemne — zmieniamy znak).

Wykres to dwie proste stykające się w punkcie \((2,0)\). Obie formuły dają ten sam punkt dla \(x=2\), więc funkcja jest ciągła w tym miejscu. Można zauważyć, że ramiona „V” mają tu nachylenia \(2\) i \(-2\) — są bardziej strome niż w przypadku \(y=|x|\).

Funkcje odcinkami — uogólnienie

W ogólności możemy definiować funkcję różnymi wzorami na różnych częściach dziedziny. Przykładowo rozważmy funkcję \(g(x)\) zbudowaną z dwóch odcinków prostych:

• dla \(x \ge 0\): \(g(x) = -2x + 2\),
• dla \(x < 0\): \(g(x) = x + 2\).

Obie linie łączą się w punkcie \((0,2)\), ponieważ \(g(0)\) liczone z obu stron daje \(2\). Funkcja jest więc ciągła w \(x=0\), natomiast współczynnik kierunkowy zmienia się z \(1\) (dla części lewej) na \(-2\) (dla części prawej) — wykres ma tam załamanie (kąt), mimo braku przerwy w wartości funkcji.

Jak szkicować wykres funkcji określonej odcinkami — krok po kroku

1. Wyznacz punkty graniczne — to wartości \(x\), przy których zmienia się wzór funkcji (np. miejsca zerowe wyrażenia w module).
2. Na każdym przedziale narysuj odpowiadający fragment wykresu — jeśli wzór jest liniowy, wystarczą dwa charakterystyczne punkty, które połączysz prostą; jeśli wzór jest nieliniowy, narysuj odpowiedni fragment wykresu tylko na tym przedziale.
3. Zdecyduj o przynależności punktów brzegowych — jeśli w definicji jest „\(\ge\)” lub „\(\le\)”, to punkt należy do danej części (zaznaczamy kropką pełną). Jeśli jest „>” lub „<”, to punkt na granicy jest wyłączony (kropka pusta).
4. Sprawdź ciągłość — policz wartości z obu stron granicy: jeśli się zgadzają, wykres jest ciągły w tej krawędzi; jeśli nie, mamy nieciągłość skokową.

Przykładowo, gdy mamy granicę w \(x=0\) i lewa formuła daje dla \(x=0\) wartość \(2\), a prawa także \(2\), to bez względu na przypisanie znaku nierówności punkt leży na wykresie i obie części łączą się tam ciągle. Gdy jednak wartości te się różnią, wykres ma przerwę (skok) w tej osi.

Przykład z trzema odcinkami: funkcja \(h(x)\)

Rozważamy funkcję \(h(x)\) zdefiniowaną następująco:

• dla \(x < -1\): \(h(x) = 3\),
• dla \(-1 \le x < 2\): \(h(x) = x + 4\),
• dla \(x \ge 2\): \(h(x) = -2x + 1\).

Omówmy zachowanie tej funkcji szczegółowo:

• Dla \(x < -1\): \(h(x)=3\). To pozioma linia \(y=3\), skończona od strony prawej w punkcie \(x=-1\) (ten punkt nie należy do tego przedziału — zaznaczamy go jako otwarty).
• Dla \(-1 \le x < 2\): \(h(x)=x+4\). Gdy \(x=-1\), mamy \(h(-1)=3\) (punkt \((-1,3)\)), czyli lewa część łączy się ciągle z poprzednią częścią — tam poprzednio był punkt otwarty, teraz jest włączony. Dla \(x \to 2^-\) wartość funkcji dąży do \(6\), ale punkt \(x=2\) nie jest jeszcze w tej części (zostanie oznaczony otwartą kropką przy \(y=6\)).
• Dla \(x \ge 2\): \(h(x)=-2x+1\). Dla \(x=2\) otrzymujemy \(h(2)=-3\) (punkt \((2,-3)\) jest włączony). Ponieważ lewa część w \(x=2\) miała wartość \(6\) (niewłączoną), a prawa zaczyna się od \(-3\), mamy skok nieciągłości w \(x=2\) — istnieje przerwa między \(y=6\) a \(y=-3\).

Rozwiązywanie równania \(h(x)=2\)

Szukamy punktów, na których wykres \(h(x)\) ma wartość \(2\). Sprawdzamy kolejno każdy odcinek definicji:

1. Dla \(x < -1\): \(h(x)=3\). Równość \(3=2\) jest fałszywa, więc brak rozwiązań w tym przedziale.
2. Dla \(-1 \le x < 2\): \(h(x)=x+4\). Rozwiązujemy równanie

Jednak \(x=-2\) nie należy do przedziału \([-1,2)\) (ponieważ \(-2<-1\)), więc to rozwiązanie nie jest dopuszczalne dla tej części funkcji.

3. Dla \(x \ge 2\): \(h(x)=-2x+1\). Rozwiązujemy

Tymczasem \(x=-\tfrac{1}{2}\) nie spełnia warunku \(x \ge 2\), więc również nie jest rozwiązaniem równania na tej części.

Wniosek: równanie \(h(x)=2\) nie ma rozwiązań — pozioma prosta \(y=2\) nie przecina żadnego odcinka wykresu funkcji \(h\).

Dodatkowe uwagi i przykłady zastosowań

• Funkcje określone odcinkami są powszechne w praktyce: taryfy z opłatą progową, stawki podatkowe zależne od przedziałów dochodu, koszty przesyłek zmieniające się po przekroczeniu pewnej masy itp. — wszędzie tam wzór zależy od tego, w którym przedziale znajduje się argument.
• Przy szkicowaniu warto zawsze zaznaczyć punkty brzegowe (pełne lub puste kropki), aby jednoznacznie przedstawić przynależność punktów do wykresu.
• Ciągłość w punkcie brzegowym sprawdza się przez porównanie wartości z lewej i z prawej strony; jeśli są równe, punkt jest częścią wykresu (funkcja ciągła), jeśli różne — mamy skok.

Podsumowanie — praktyczny przepis

1. Zidentyfikuj przedziały, na których obowiązują różne wzory.
2. Dla każdego przedziału narysuj odpowiedni fragment wykresu (dla prostych wystarczą dwa punkty).
3. Zaznacz dokładnie, które punkty brzegowe są włączone, a które wyłączone.
4. Sprawdź ciągłość w punktach łączenia (porównaj wartości z obu stron).
5. Przy rozwiązywaniu równań z funkcją odcinkami rozpatruj oddzielnie każdy przedział i odrzuć rozwiązania spoza danego przedziału.

Jeśli chcesz, mogę przygotować szkic wykresu dla któregokolwiek z powyższych przykładów (opisać krok po kroku, jakie punkty zaznaczyć), albo przedstawić dodatkowe przykłady z zadaniami do samodzielnego rozwiązania.