Funkcje liniowe — wprowadzenie

Funkcje liniowe są prostym i bardzo użytecznym narzędziem do modelowania sytuacji, w których zmiana jednej wielkości jest stała względem zmiany innej. Ogólną postać funkcji liniowej zapisujemy jako

\[ y = ax + b \]

gdzie:

• a — współczynnik kierunkowy (nachylenie prostej): mówi, o ile jednostek zmienia się wartość y przy wzroście x o 1 (ma jednostkę wynikającą z kontekstu, np. zł/km, l/min itp.),
• b — wyraz wolny (wartość początkowa): wartość y dla x = 0 (interpretacja zależy od sytuacji, np. opłata początkowa, początkowa ilość wody itp.).

Typowy schemat rozwiązywania zadań z funkcjami liniowymi:

1. Zidentyfikuj zmienne: co jest x, a co jest y oraz ich jednostki.
2. Określ tempo zmiany (współczynnik a): albo podano bezpośrednio, albo obliczysz je z dwóch punktów.
3. Wyznacz wartość początkową (b) przez podstawienie znanej pary (x, y) do wzoru.
4. Zapisz wzór i użyj go do obliczeń oraz interpretacji wyników.

Przykład 1 — koszty taksówki (koszty stałe i zmienne)

Opis sytuacji: opłata początkowa 5 zł oraz 2 zł za każdy przejechany kilometr. Zmienną d oznaczamy liczbę kilometrów, a funkcję kosztu — \(K(d)\).

Wzór funkcji ma postać:

\[ K(d) = 2d + 5 \]

Interpretacja parametrów: a = 2 (koszt wzrasta o 2 zł przy każdym dodatkowym kilometrze), b = 5 (opłata początkowa przy \(d=0\)).

Obliczenia:

• Koszt przejazdu 15 km:

  \[ K(15) = 2 \cdot 15 + 5 = 30 + 5 = 35 \]

  Przejazd 15 km kosztuje 35 zł.

• Jaką odległość można przejechać dysponując 29 zł? Rozwiązujemy równanie:

  \[ 2d + 5 = 29 \Rightarrow 2d = 29 - 5 = 24 \Rightarrow d = \frac{24}{2} = 12 \]

  Za 29 zł można przejechać 12 km (dokładnie — dalsza jazda wymagałaby więcej środków).

Przykład 2 — nalewanie wody (zależność fizyczna)

Opis sytuacji: woda nalewana jest w stałym tempie. Po 5 minutach jest 20 litrów, po 15 minutach — 50 litrów. Niech t oznacza czas w minutach, a V(t) objętość w litrach.

Mamy dwa punkty: \((t_1,V_1)=(5,20)\) oraz \((t_2,V_2)=(15,50)\). Zakładamy model liniowy \[ V(t)=at+b. \]

Najpierw obliczamy współczynnik kierunkowy (tempo nalewania):

\[ a = \frac{V_2 - V_1}{t_2 - t_1} = \frac{50 - 20}{15 - 5} = \frac{30}{10} = 3 \]

czyli nalewamy 3 litry na minutę.

Następnie wyznaczamy wyraz wolny podstawiając np. punkt \(t=5, V=20\):

\[ 20 = 3 \cdot 5 + b \Rightarrow b = 20 - 15 = 5 \]

Wzór funkcji:

\[ V(t) = 3t + 5 \]

Interpretacja: przy \(t=0\) w zbiorniku było 5 litrów (b = 5). Tempo nalewania wynosi 3 l/min.

Ile wody po 20 minutach?

\[ V(20) = 3 \cdot 20 + 5 = 60 + 5 = 65 \]

Po 20 minutach w zbiorniku będzie 65 litrów wody.

Przykład 3 — przeliczanie temperatur (Celsjusz ↔ Fahrenheita)

Temperatury Celsjusza i Fahrenheita są liniowo powiązane wzorem

\[ F(C) = 1.8\,C + 32 \]

a) Ile stopni Fahrenheita odpowiada 20°C?

\[ F = 1.8 \cdot 20 + 32 = 36 + 32 = 68 \]

Zatem 20°C to 68°F.

b) Dla jakiej temperatury obie skale pokazują tę samą liczbę? Szukamy \(x\) takiego, że liczba w °C równa jest liczbie w °F:

\[ x = 1.8x + 32 \Rightarrow x - 1.8x = 32 \Rightarrow -0.8x = 32 \Rightarrow x = \frac{32}{-0.8} = -40 \]

Stąd wniosek: −40°C = −40°F.

Kilka dodatkowych wyjaśnień i wskazówek

• Jednostki są kluczowe. Współczynnik a zawsze ma jednostkę „zmiana y na jednostkę x” (np. zł/km, l/min, °F/°C).
• Wyraz wolny b należy interpretować w kontekście: oznacza wartość wielkości modelowanej przy zerowej wartości zmiennej niezależnej (np. czas = 0, przebieg = 0).
• Jeśli masz dwie pary punktów \((x_1,y_1)\) i \((x_2,y_2)\), najwygodniej jest najpierw obliczyć

  \[ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

  a potem znaleźć b przez podstawienie jednej z par: \[ b = y_1 - a x_1. \]
• Model liniowy sprawdza się, kiedy zmiana jest stała. Jeżeli tempo zmiany zależy od wartości (np. maleje lub rośnie z upływem czasu), model liniowy może być niewłaściwy i trzeba rozważyć modele nieliniowe.
• Przy rozwiązywaniu równań liniowych pamiętaj o zachowaniu jednostek i o interpretacji rozwiązania (np. wynik ujemny może oznaczać, że rozwiązanie nie jest fizycznie sensowne w danym kontekście).

Podsumowanie

Funkcje liniowe są prostym narzędziem do modelowania stałych zmian. Najważniejsze kroki to określenie, co jest zmienną niezależną i zależną, obliczenie współczynnika kierunkowego (tempo zmiany) oraz wyrazu wolnego (wartość początkowa). Po zapisaniu wzoru \(y = ax + b\) można łatwo wykonywać obliczenia i interpretować wyniki w kontekście zadania.