Funkcje liniowe — monotoniczność i znaki

Definicja. Funkcję liniową zapisujemy jako \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a,b\in\mathbb{R}\). Jej podstawowe własności zależą wprost od współczynnika kierunkowego \(a\): określa on, czy wykres prostej rośnie, maleje czy jest poziomy, oraz jak zmienia się znak wartości funkcji w zależności od argumentu.

Monotoniczność — intuicja i uzasadnienie

Monotoniczność funkcji liniowej jest najprościej określana przez znak współczynnika \(a\):

• Jeśli \(a>0\), to funkcja jest rosnąca na całej prostej: większym argumentom odpowiadają większe wartości funkcji. Geometrycznie wykres prostej wznosi się ku górze, gdy idziemy w prawo.
• Jeśli \(a<0\), to funkcja jest malejąca: dla rosnącego \(x\) wartości funkcji maleją — wykres opada w prawo.
• Jeśli \(a=0\), to funkcja jest stała: \(f(x)=b\) dla każdego \(x\). Wykres to linia pozioma; funkcja nie zmienia wartości.

Formalne uzasadnienie. Funkcję można zapisać jako iloczyn (gdy \(a\neq0\))

gdzie

Jako że dla funkcji liniowej pochodna \(f'(x)=a\) jest stała, znak tej pochodnej decyduje o monotoniczności: jeżeli \(a>0\) to \(f'(x)>0\) (rosnąca), jeżeli \(a<0\) to \(f'(x)<0\) (malejąca), a gdy \(a=0\) to \(f'(x)=0\) (stała funkcja).

Zmiana znaku — rola miejsca zerowego

Dla \(a\neq0\) funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe (punkt przecięcia z osią OX), które obliczamy jako

Po zapisaniu \(f(x)=a(x-x_0)\) widzimy, że znak \(f(x)\) zależy od dwóch czynników: znaku \(a\) i znaku wyrażenia \((x-x_0)\). Z tego wynika reguła:

• Jeśli \(a>0\) (funkcja rosnąca), to \(f(x)<0\) dla \(x0\) dla \(x>x_0\). Innymi słowy: przy przejściu przez miejsce zerowe znak zmienia się z minus na plus.
• Jeśli \(a<0\) (funkcja malejąca), to sytuacja jest odwrotna: \(f(x)>0\) dla \(xx_0\). Czyli znak zmienia się z plusa na minus.

Uwaga o przypadkach szczególnych. Jeśli \(a=0\), to funkcja jest stała i nie ma prawdziwego miejsca zerowego, chyba że \(b=0\) (wtedy każdy punkt jest miejscem zerowym). Dla stałej niezerowej funkcji znak jest stały (cały czas dodatni lub cały czas ujemny, zależnie od \(b\)).

Przykłady i doprecyzowanie

Przykład 1. Zbadaj monotoniczność i znaki funkcji \(f(x)=-2x+6\).

Rozwiązanie:

• Współczynnik \(a=-2\) jest ujemny, więc funkcja jest malejąca na \(\mathbb{R}\).
• Wyznaczamy miejsce zerowe rozwiązując równanie \( -2x+6=0\):

• Możemy też zapisać \(f(x)=-2(x-3)\). Stąd widać, że dla \(x<3\) mamy \(x-3<0\), a iloczyn z \(a=-2\) daje wartość dodatnią; dla \(x>3\) wartość jest ujemna.
• Wynik końcowy:
• monotoniczność: \(f\) jest malejąca,
• \(f(x)>0\) dla \(x<3\),
• \(f(x)=0\) dla \(x=3\),
• \(f(x)<0\) dla \(x>3\).

Przykład 2 (ilustracja ograniczonej dziedziny). Dla \(g(x)=2x+3\) miejsce zerowe to \(x_0=-\tfrac{3}{2}\). Na całej prostej funkcja zmienia znak w punkcie \(-\tfrac{3}{2}\). Jednak jeśli ograniczymy dziedzinę do \(x\in[0,\infty)\), to na tym przedziale \(g(x)>0\) dla każdego \(x\) (miejsce zerowe nie należy do przedziału), mimo że globalnie funkcja ma miejsce zerowe.

Własności algebraiczne i odwrotność

• Dla \(a\neq0\) funkcja liniowa jest bijekcją z \(\mathbb{R}\) na \(\mathbb{R}\): każdej wartości \(y\in\mathbb{R}\) odpowiada dokładnie jedno \(x\) takie, że \(f(x)=y\). Oznacza to, że zbiór wartości funkcji to \(\mathbb{R}\) i że istnieje funkcja odwrotna.
• Funkcja odwrotna do \(f(x)=ax+b\) (dla \(a\neq0\)) ma postać

• Dla funkcji stałej (\(a=0\)) taka odwrotność nie istnieje, ponieważ funkcja nie jest różnowartościowa.

Symetrie wykresu

Specjalne przypadki mogą dawać symetrię wykresu:

• Jeśli \(b=0\), to \(f(x)=ax\) i \(f(-x)=-f(x)\). Wtedy wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych — funkcja jest nieparzysta (antysymetryczna).
• Jeśli \(b\neq0\), typowa prosta nie ma symetrii względem osi OX czy OY, ani względem początku (chyba że specyficznie dobrane \(a,b\) spełnią warunek symetrii względem pewnej prostej), lecz geometrycznie każda prosta jest symetryczna względem samej siebie.

Podsumowanie

Najważniejsze wnioski do zapamiętania:

1. Monotoniczność funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\) jest całkowicie określona przez znak współczynnika \(a\): \(a>0\) — rosnąca, \(a<0\) — malejąca, \(a=0\) — stała.
2. Dla \(a\neq0\) funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe \(x_0=-\dfrac{b}{a}\) i jej znak zmienia się przy przejściu przez \(x_0\) w sposób zależny od znaku \(a\).
3. Dla \(a\neq0\) funkcja jest bijekcją \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) i ma odwrotność \(f^{-1}(y)=\dfrac{y-b}{a}\).
4. W praktycznych zadaniach warto zapisać funkcję w formie iloczynowej \(f(x)=a(x-x_0)\) — natychmiast widać miejsce zerowe i sposób zmiany znaku.

Wskazówka do ćwiczeń: Weź kilka funkcji liniowych z różnymi parametrami \(a\) i \(b\) (np. \(a=\pm1,\pm2\); różne \(b\)) i narysuj ich wykresy, wypisując miejsce zerowe, monotoniczność i przedziały znaków — to pomaga utrwalić powyższe zasady.