Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej

Bardzo często funkcja liniowa jest opisana pośrednio — na przykład przez informacje o jej wykresie lub pewne dane liczbowe — i na tej podstawie trzeba ustalić wzór \(f(x)=ax+b\). W tym celu wyznaczamy wartości współczynników \(a\) i \(b\) spełniające podane warunki.

Typowe przypadki i metoda

W ogólności potrzebujemy dwóch niezależnych informacji (równania), aby wyznaczyć dwie niewiadome \(a\) i \(b\). Poniżej najczęściej spotykane sytuacje oraz sposób postępowania.

1. Dane wartości funkcji dla dwóch różnych argumentów (dwa punkty na wykresie).

   Jeżeli funkcja przyjmuje wartość \(y_1\) dla \(x_1\) oraz \(y_2\) dla \(x_2\), to wykres przechodzi przez punkty \((x_1,y_1)\) oraz \((x_2,y_2)\). Otrzymujemy układ równań

   \[ a x_1 + b = y_1, \qquad a x_2 + b = y_2. \]

   Odejmując pierwsze równanie od drugiego eliminujemy \(b\) i otrzymujemy

   \[ a(x_2 - x_1) = y_2 - y_1, \]

   skąd

   \[ a = \frac{y_2 - y_1}{\,x_2 - x_1\,}. \]

   Jest to klasyczna interpretacja współczynnika kierunkowego jako stosunku przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu (tzw. nachylenie prostej). Następnie obliczamy \(b\), podstawiając obliczone \(a\) do jednego z równań, np.

   \[ b = y_1 - a x_1. \]

   Uwaga: wzór na \(a\) nie działa, gdy \(x_2=x_1\) (dzielenie przez zero) — wtedy prosta jest pionowa i nie ma postaci \(ax+b\).

2. Znany współczynnik \(a\) oraz jeden punkt leżący na wykresie.

   Podstawiamy współrzędne punktu \((x_0,y_0)\) do wzoru \(y=ax+b\):

   \[ y_0 = a x_0 + b, \]

   skąd

   \[ b = y_0 - a x_0. \]

   Jest to najprostszy przypadek: po znanym \(a\) wystarczy jedno równanie, aby wyznaczyć \(b\).

3. Znane miejsce zerowe i jedna inna para wartości.

   Gdy \(x_0\) jest miejscem zerowym, to \(f(x_0)=0\), czyli

   \[ a x_0 + b = 0. \]

   Dodatkowo dla pewnego \(x_1\) mamy \(f(x_1)=y_1\), czyli

   \[ a x_1 + b = y_1. \]

   Odejmując pierwsze równanie od drugiego otrzymujemy

   \[ a(x_1 - x_0) = y_1, \]

   zatem

   \[ a = \frac{y_1}{\,x_1 - x_0\,}, \]

   a następnie obliczamy \(b\) podstawiając \(a\) do jednego z równań.

We wszystkich powyższych sytuacjach najpierw wyznaczamy \(a\) (nachylenie prostej), a potem \(b\) (wartość przecięcia z osią \(y\)).

Wyjaśnienie pojęć i wskazówki

• Współczynnik kierunkowy \(a\) określa, o ile zmienia się wartość funkcji, gdy zmienimy argument o jednostkę. Geometrycznie jest to tangens kąta nachylenia prostej. Obliczamy go jako stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu: \[a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.\]
• Wyraz wolny \(b\) to wartość funkcji dla \(x=0\), czyli punkt przecięcia wykresu z osią pionową: \(b=f(0)\). Po obliczeniu \(a\) zwykle podstawiamy jeden znany punkt i rozwiązujemy proste równanie względem \(b\).
• Uwaga na zgodność punktów: zawsze sprawdź, czy podane punkty mają różne współrzędne \(x\). Gdy \(x_1=x_2\) i \(y_1\neq y_2\), nie mamy funkcji liniowej postaci \(ax+b\) (to prosta pionowa).
• Wybór równania do obliczenia \(b\): po obliczeniu \(a\) możesz użyć dowolnego z dostępnych punktów; wynik będzie ten sam. W praktyce warto wybrać równanie prostsze liczbowo, żeby ograniczyć błędy rachunkowe.

Przykłady

Przykład 1

Znajdź wzór funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), której wykres przechodzi przez punkty \(P=(2,5)\) oraz \(Q=(6,17)\).

Rozwiązanie:

Obliczamy współczynnik kierunkowy:

\[ a = \frac{17 - 5}{6 - 2} = \frac{12}{4} = 3. \]

Następnie wyznaczamy \(b\), podstawiając punkt \(P(2,5)\):

\[ 5 = 3\cdot 2 + b \quad\Rightarrow\quad 5 = 6 + b \quad\Rightarrow\quad b = -1. \]

Zatem

\[ f(x) = 3x - 1. \]

Sprawdzenie: dla \(x=6\) mamy \(f(6)=3\cdot 6 - 1 = 17\), co zgadza się z punktem \(Q\).

Przykład 2

Wyznacz wzór funkcji liniowej o współczynniku kierunkowym \(a=-2\), jeśli wiadomo, że jej wykres przechodzi przez punkt \(A=(3,7)\).

Rozwiązanie:

Podstawiamy dane do równania \(y=ax+b\):

\[ 7 = -2\cdot 3 + b \quad\Rightarrow\quad 7 = -6 + b \quad\Rightarrow\quad b = 13. \]

Zatem

\[ f(x) = -2x + 13. \]

Sprawdzenie: \(f(3) = -6 + 13 = 7\).

Przykład 3

Funkcja liniowa \(f\) ma miejsce zerowe \(x_0 = 4\) i przyjmuje wartość \(f(2)=6\). Wyznacz wzór tej funkcji.

Rozwiązanie:

Z warunków mamy:

\[ f(4)=0 \Rightarrow 4a + b = 0, \] \[ f(2)=6 \Rightarrow 2a + b = 6. \]

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:

\[ (2a + b) - (4a + b) = 6 - 0 \quad\Rightarrow\quad -2a = 6 \quad\Rightarrow\quad a = -3. \]

Podstawiamy \(a\) do jednego z równań, np. \(4a + b = 0\):

\[ 4(-3) + b = 0 \quad\Rightarrow\quad -12 + b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = 12. \]

Zatem

\[ f(x) = -3x + 12. \]

Sprawdzenie: \(f(4)=-12+12=0\) oraz \(f(2)=-6+12=6\) — warunki spełnione.

Krótka instrukcja postępowania (krok po kroku)

1. Zidentyfikuj, jakie informacje są podane (dwa punkty; jeden punkt i \(a\); miejsce zerowe i punkt itp.).
2. Jeżeli masz dwa punkty, policz \(a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). Jeśli znane jest \(a\), przejdź dalej.
3. Podstaw \(a\) i współrzędne jednego z punktów do równania \(y=ax+b\) i oblicz \(b\).
4. Sprawdź otrzymaną funkcję na pozostałych danych (drugi punkt, miejsce zerowe itp.).

Jeśli chcesz, mogę przygotować dodatkowe przykłady z różnymi poziomami trudności lub interaktywny schemat rozwiązywania do wydruku.