Współczynnik kierunkowy w funkcji liniowej
Definicja: W funkcji liniowej \(y = ax + b\) współczynnik kierunkowy \(a\) określa kierunek i nachylenie prostej. Geometrycznie mówi nam, jak stroma jest linia oraz w którą stronę się zmienia.
Znaczenie znaku i wartości współczynnika \(a\)
- Jeżeli \(a>0\), prosta jest nachylona „w górę” — funkcja rośnie.
- Jeżeli \(a<0\), prosta jest nachylona „w dół” — funkcja maleje.
- Jeżeli \(a=0\), wykres jest poziomą linią — funkcja jest stała.
Wielkość bezwzględna \(|a|\) decyduje o stromiźnie: im większe \(|a|\), tym bardziej stroma (bardziej pionowa) jest linia. Im mniejsze \(|a|\) bliskie zeru, tym wykres bardziej przypomina linię poziomą.
Przykłady interpretacji przyrostowej:
- Dla \(a=2\): zwiększenie \(x\) o 1 powoduje zwiększenie \(y\) o 2.
- Dla \(a=-\frac{1}{2}\): zwiększenie \(x\) o 1 powoduje zmniejszenie \(y\) o \(\tfrac{1}{2}\).
Wzór na współczynnik kierunkowy
Dla dwóch różnych punktów \((x_1, y_1)\) i \((x_2, y_2)\) należących do prostej współczynnik kierunkowy obliczamy ze wzoru:
\[ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad (x_1 \neq x_2). \]Ta ilorazowa definicja oznacza, że \(a\) jest stały dla każdej pary punktów na danej prostej — to cecha charakterystyczna linii prostej. Interpretacja praktyczna: \(\Delta y/\Delta x\) mówi, o ile zmienia się \(y\) przy jednostkowej zmianie \(x\).
Związek kąta nachylenia z współczynnikiem \(a\)
Geometrycznie współczynnik kierunkowy \(a\) jest tangensem kąta \(\alpha\), jaki prosta tworzy z dodatnim kierunkiem osi OX (oś OX traktujemy jako odniesienie):
\[ a = \tan\alpha. \]Gdy \(a=0\), kąt nachylenia wynosi \(0^\circ\). W praktyce szkolnej częściej korzysta się z interpretacji przyrostowej niż z bezpośredniego liczenia kąta.
Interpretacja praktyczna i przykłady zastosowań
W wielu zadaniach tekstowych \(a\) reprezentuje stałą szybkość zmiany jednej wielkości względem drugiej. Kilka typowych przykładów:
- Ruch jednostajny: dla zależności drogi od czasu \(s(t)=vt+s_0\) współczynnik \(v\) to prędkość — przyrost drogi na jednostkę czasu. Np. \(s(t)=60t\) oznacza \(v=60\) km/h, czyli przyrost 60 km na godzinę.
- Koszty produkcji: jeżeli \(K(n)=5n+200\) (zł), to \(a=5\) oznacza koszt dodatkowej sztuki (koszt jednostkowy). Koszty stałe to 200 zł.
- Przeliczanie jednostek: zależność temperatur między skalą Celsiusza i Fahrenheita jest liniowa: \(F(C)=1.8\,C+32\). Współczynnik \(1.8\) oznacza, że wzrost o \(1^\circ\)C odpowiada wzrostowi o \(1{.}8^\circ\)F.
Przykłady z rozwiązaniami (szczegółowo)
Przykład 1 — prosta przez dwa punkty
Znajdź współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty \(A=(1,3)\) oraz \(B=(4,15)\).
- Zapisujemy wzór na współczynnik:
- Podstawiamy dane: \(y_1=3\), \(y_2=15\), \(x_1=1\), \(x_2=4\):
Wynik: \(a=4\). Interpretacja: prosta rośnie — na każde przesunięcie o 1 w prawo odpowiada wzrost o 4 jednostki w górę.
Przykład 2 — wypływ wody ze zbiornika
Objętość wody \(V\) (w litrach) maleje liniowo w czasie \(t\) (w minutach). Na początku (t=0) jest \(V(0)=150\) l, po 10 minutach \(V(10)=90\) l. Oblicz współczynnik kierunkowy i podaj znaczenie jego wartości.
- Mamy dwa punkty: \((0,150)\) i \((10,90)\). Obliczamy współczynnik:
Zatem równanie funkcji ma postać:
\[ V(t) = -6t + 150. \]Interpretacja: \(a=-6\) (l/min) oznacza, że z każdą minutą objętość wody zmniejsza się o 6 litrów. Znak ujemny wskazuje spadek (ubytek). Po kolejnych 10 minutach objętość zmaleje o kolejne \(6\cdot 10=60\) l.
Dodatkowa informacja praktyczna: aby określić, po ilu minutach zbiornik będzie pusty (model liniowy dopuszczalny do tego czasu), rozwiązujemy \(V(t)=0\):
\[ -6t + 150 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{150}{6} = 25\ \text{minut}. \]Uwagi: model liniowy dobrze opisuje proces tylko dopóki założenia fizyczne są spełnione — np. nie można mieć ujemnej objętości; poza zakresem \(t\geq 25\) wynik nie ma sensu fizycznego.
Dodatkowe uwagi i porady
- Przy obliczaniu współczynnika kierunkowego zawsze sprawdź, czy \(x_1\neq x_2\). Gdy \(x_1=x_2\), mamy prostą pionową, której nachylenie nie jest liczbą rzeczywistą (współczynnik kierunkowy nie istnieje w postaci skończonej liczby).
- W interpretacjach jednostkowych pamiętaj, że jednostka współczynnika wynika ze stosunku jednostek \(\frac{\text{jednostka }y}{\text{jednostka }x}\) (np. km/h, zł/szt., l/min).
- W zadaniach praktycznych warto podać interpretację znaczenia wartości i znaków oraz rozważyć zakresy, w których model liniowy jest sensowny.
