Funkcja liniowa — definicja i właściwości

Definicja: Funkcją liniową nazywamy funkcję postaci \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\),

\(f(x)=ax+b\), gdzie \(a,b\) są stałymi liczbami rzeczywistymi. Współczynnik \(a\) nazywamy współczynnikiem kierunkowym (nachyleniem) prostej, a \(b\) — wyrazem wolnym (rzędną początku), czyli wartością funkcji dla \(x=0\).

Podstawowe własności

• Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\).
• Wykresem funkcji liniowej jest prosta na płaszczyźnie kartezjańskiej.
• Jeżeli \(b=0\), mamy funkcję proporcjonalną \(f(x)=ax\). Jeśli \(b\neq 0\), poza składnikiem proporcjonalnym występuje stała przesuwająca wykres w pionie.
• Współczynnik \(a\) określa monotoniczność:
• jeśli \(a>0\), funkcja jest rosnąca (wartości rosną wraz ze wzrostem \(x\));
• jeśli \(a<0\), funkcja jest malejąca (wartości maleją wraz ze wzrostem \(x\));
• jeśli \(a=0\), funkcja jest stała i równa \(f(x)=b\) dla każdego \(x\).
• Skojarzenie z nachyleniem: \(a\) to stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu, czyli \(a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\).

Jak narysować wykres funkcji liniowej?

Wystarczą dwa punkty należące do prostej. Najłatwiej wyznaczyć:

1. Punkt przecięcia z osią OY (rzędna początkowa): podstawiamy \(x=0\). Otrzymujemy \(f(0)=a\cdot 0 + b = b\), czyli punkt \((0,b)\).
2. Punkt przecięcia z osią OX (miejsce zerowe): rozwiązujemy równanie \(f(x)=0\). Dla \(a\neq 0\) mamy:

Wówczas punktem przecięcia z osią OX jest \(\bigl(-\tfrac{b}{a}, 0\bigr)\). Jeśli \(a=0\) i \(b\neq 0\), funkcja nie ma miejsca zerowego (wykres jest prostą równoległą do osi OX). Jeżeli \(a=0\) i \(b=0\), funkcja jest identycznie równa zero i każda wartość \(x\) jest miejscem zerowym.

Alternatywna praktyczna metoda szkicowania: zacznij od punktu \((0,b)\), potem przesuń się w prawo o 1 w jednostce osi OX i w górę o \(a\) w jednostkach osi OY (jeśli \(a\) jest ułamkiem, użyj odpowiedniego stosunku "wznoszenia/odbiegania" — rise/run). Powtórz, aby uzyskać drugi punkt, a następnie poprowadź prostą przez te punkty.

Szczegółowe omówienie przypadków

• \(a\neq 0\): funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe \(\bigl(-\tfrac{b}{a},0\bigr)\) i wykres jest prostą nachyloną (nie poziomą).
• \(a=0, b\neq 0\): funkcja jest stała i różna od zera, nie przecina osi OX; wykres to linia pozioma \(y=b\).
• \(a=0, b=0\): funkcja zerowa \(f(x)=0\), wykresem jest oś OX; każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym.

Interpretacja wspóczynników

Współczynnik kierunkowy \(a\): mówi o szybkości zmiany funkcji. Jeżeli przemieszczenie w poziomie wynosi \(\Delta x\), to odpowiadająca zmiana wartości funkcji wynosi \(a\cdot \Delta x\). Dzięki temu:

\(a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\).

Wyraz wolny \(b\): określa położenie prostej w pionie — to wartość funkcji przy \(x=0\), czyli punkt przecięcia z osią OY.

Przykład 1 — analiza wykresu

Rozważmy funkcję \(f(x)=2x-3\). Jej własności:

• Punkt przecięcia z OY: \(f(0)=-3\), więc \((0,-3)\).
• Miejsce zerowe: rozwiązujemy \(2x-3=0\), stąd \(x=\tfrac{3}{2}=1{,}5\), czyli punkt \((1{,}5,0)\).
• Współczynnik \(a=2\) oznacza, że na każdy przyrost \(x\) o 1 wartość funkcji rośnie o 2 jednostki — prosta jest rosnąca.

Przykład 2 — zadanie z rozwiązaniem

Dana jest funkcja \(f(x)=-\tfrac{1}{2}x+4\). Wyznacz miejsce zerowe i naszkicuj wykres.

Rozwiązanie: Szukamy \(x\) takiego, że \(f(x)=0\). Rozwiązujemy równanie:

Przenosząc 4 na drugą stronę i mnożąc obustronnie przez \(-2\) otrzymujemy:

Zatem miejsce zerowe to \(x_0=8\), czyli punkt \((8,0)\). Punkt przecięcia z osią OY to \((0,4)\). Rysujemy prostą przechodzącą przez punkty \((0,4)\) i \((8,0)\). Współczynnik \(a=-\tfrac{1}{2}\) jest ujemny, więc wykres jest malejący (opadający w prawo).

Uwagi i interpretacje szkolne

• W szkolnej literaturze funkcje stałe \(f(x)=b\) bywają traktowane jako szczególny przypadek funkcji liniowych; w bardziej ścisłym ujęciu „funkcją liniową” czasami określa się tylko funkcję postaci \(f(x)=ax\) (proporcjonalność). W tej lekcji przyjmujemy szerszą definicję: wszystkie funkcje postaci \(ax+b\).
• Monotoniczność, istnienie miejsc zerowych oraz kształt wykresu zależą tylko od wartości parametrów \(a\) i \(b\) — szczegółowe analizy monotoniczności i wartości funkcji rozwinę w późniejszych lekcjach.

Jak ćwiczyć

Przykładowe zadania do samodzielnego rozwiązania:

1. Dla funkcji \(f(x)=3x+6\) wyznacz miejsca przecięcia z osiami i narysuj wykres.
2. Zbadaj monotoniczność funkcji \(f(x)=-4x+1\) i narysuj jej wykres.
3. Podaj przykład funkcji stałej i opisz jej wykres oraz to, czy ma miejsce zerowe.

Przy rozwiązywaniu zadań pamiętaj o praktycznej metodzie: szybko wyznacz punkt \((0,b)\) oraz drugi punkt korzystając ze współczynnika \(a\) (np. przesunięcie o 1 w prawo i o \(a\) w górę/dół) — to wystarczy do narysowania prostej.