Proporcjonalność prosta

Proporcjonalność prosta to zależność między dwiema wielkościami zmiennymi \(x\) i \(y\), w której zwiększenie (lub zmniejszenie) jednej wielkości wywołuje proporcjonalne zwiększenie (lub zmniejszenie) drugiej. Formalnie mówimy o proporcjonalności prostej, gdy zależność ma postać

gdzie \(a\) (współczynnik proporcjonalności) jest stałą liczbą rzeczywistą. W takim związku iloraz \(\frac{y}{x}\) jest stały i równy \(a\), czyli dla każdej pary wartości \((x,y)\) spełniającej równanie \(y=ax\) zachodzi

Przykładowo, jeśli \(x\) zwiększy się dwukrotnie, to \(y\) również zwiększy się dwukrotnie; jeśli \(x\) zmaleje o połowę, to \(y\) zmaleje o połowę. Proporcjonalność prosta oznacza więc stały stosunek \(y\) do \(x\).

Własności

• Przejście przez początek układu współrzędnych: dla \(x=0\) mamy zawsze \(y=0\), ponieważ \(y=a\cdot 0=0\). Zatem wykres funkcji \(y=ax\) przechodzi przez punkt \((0,0)\).
• Punkt jednostkowy: punkt \((1,a)\) leży na wykresie, bo dla \(x=1\) zachodzi \(y=a\cdot 1=a\).
• Współczynnik jako nachylenie: współczynnik \(a\) określa nachylenie prostej. Jeśli \(a>0\), funkcja jest rosnąca (prosta „wznosi się” w prawo). Jeśli \(a<0\), funkcja jest malejąca (prosta „opada” w prawo).
• Warunek proporcjonalności dla dwóch par: dwie pary \((x_1,y_1)\) i \((x_2,y_2)\) leżą na tej samej funkcji proporcjonalnej wtedy i tylko wtedy, gdy

co można też zapisać przez iloczyny skrzyżowane jako \(y_1 x_2 = y_2 x_1\) (przy założeniu \(x_1\neq 0\) i \(x_2\neq 0\)).

Jak sprawdzić, czy dwie wielkości są wprost proporcjonalne?

1. Oblicz iloraz \(\frac{y}{x}\) dla kilku par danych wartości. Jeśli dla wszystkich par wynik jest taki sam, wielkości są wprost proporcjonalne.
2. Sprawdź wykres: jeśli wszystkie punkty leżą na prostej przechodzącej przez \((0,0)\), to związek jest proporcjonalny.
3. Możesz użyć równości przekrojowej: dla dwóch par \((x_1,y_1)\) i \((x_2,y_2)\) sprawdź, czy \(y_1 x_2 = y_2 x_1\).

Przykłady i objaśnienia

Ruch ze stałą prędkością: związek między drogą a czasem przy ruchu jednostajnym jest przykładem proporcjonalności prostej. Jeśli prędkość pojazdu wynosi \(v = 60\) (km/h), to droga przebyty w czasie \(t\) (w godzinach) wyraża się wzorem

czyli współczynnik proporcjonalności \(a=60\) oznacza, że w ciągu 1 godziny pojazd przejeżdża 60 km. Przykładowo: w 2 godziny odległość wyniesie \(s(2)=120\) km, a w 4 godziny \(s(4)=240\) km — przy dwukrotnie dłuższym czasie odległość również jest dwukrotnie większa.

Obwód okręgu: obwód \(O\) jest wprost proporcjonalny do średnicy \(d\). Zależność ma postać

gdzie współczynnik proporcjonalności to liczba \(\pi\).

Cena a masa (przykład praktyczny): masa cukru \(x\) (w kg) i odpowiadająca jej cena \(y\) (w zł) mogą być wprost proporcjonalne. Jeśli 3 kg cukru kosztują 12 zł, to współczynnik proporcjonalności obliczamy jako

co daje jednostkę 4 zł/kg. Zależność zapisujemy jako

gdzie \(x\) jest w kg, a \(y\) w zł. Stąd dla \(x=2\) kg otrzymujemy \(y = 4 \cdot 2 = 8\) zł, a dla \(x=5\) kg \(y = 4 \cdot 5 = 20\) zł.

Dodatkowe uwagi i porady

• Co gdy \(a=0\)? Jeżeli \(a=0\), równanie \(y=ax\) daje zawsze \(y=0\) — jest to szczególny przypadek (funkcja stała równa zero), zwykle pomijany przy rozważaniu „proporcjonalności” w sensie praktycznym, ponieważ nie opisuje zależności zmieniających się wielkości.
• Jednostki: przy stosowaniu proporcjonalności zawsze zwracaj uwagę na jednostki; współczynnik \(a\) ma wtedy jednostkę będącą ilorazem jednostek \(y\) do jednostek \(x\) (np. zł/kg, km/h itp.).
• Jak znaleźć brakującą wartość: znając \(a\) i wartość \(x\), obliczamy \(y\) z wzoru \(y=ax\). Jeśli znamy \(y\) i chcemy znaleźć \(x\), przekształcamy do postaci \(x=\frac{y}{a}\) (przy \(a\neq 0\)).
• Wykresy pomagają w wizualizacji: rysując prostą \(y=ax\), szybko zobaczysz czy dane punkty leżą na jednej prostej przechodzącej przez początek—to praktyczny test proporcjonalności.

Podsumowanie: Proporcjonalność prosta to relacja liniowa bez stałej wyraz wolnego, opisana równaniem \(y=ax\). Charakteryzuje się stałym stosunkiem wartości \(y\) i \(x\), wykresem będącym prostą przez \((0,0)\) oraz intuicyjnym zachowaniem: mnożąc \(x\) przez pewien współczynnik, mnożymy \(y\) przez ten sam współczynnik.