Układy równań liniowych — wprowadzenie i przykłady

Układy równań liniowych to narzędzie do rozwiązywania zadań, w których mamy dwie (lub więcej) niewiadome oraz tyle samo niezależnych warunków. Zwykle proces rozwiązywania składa się z kilku powtarzalnych kroków, które warto przećwiczyć: zdefiniowanie niewiadomych, zapisanie równań z treści zadania, wybór metody rozwiązania, wykonanie obliczeń i sprawdzenie wyniku.

Uniwersalny schemat rozwiązywania

1. Zdefiniuj niewiadome. Dokładnie zapisz, co oznacza każda zmienna (wraz z jednostką: monety, lata, litry, cm itd.).
2. Przetłumacz treść na równania. Każde zdanie warunkowe zamień na równanie; zwracaj uwagę na sumy, różnice, iloczyny, procenty i jednostki.
3. Wybierz metodę rozwiązania. Najczęściej używane: podstawianie, eliminacja (przeciwnych współczynników), metoda graficzna. Czasem wygodnie najpierw przekształcić równania (np. usunąć ułamki).
4. Rozwiąż układ. Wykonaj obliczenia krok po kroku i znajdź wartości niewiadomych.
5. Sprawdź wynik. Podstaw wartości do równań oraz sprawdź sens jednostkowy i ewentualne dodatkowe warunki (np. liczby całkowite, nieujemność).

Ważne uwagi

• Jeżeli w zadaniu występują monety, osoby, litry itp., często oczekuje się rozwiązań w liczbach całkowitych lub nieujemnych — uwzględnij to przy interpretacji wyników.
• Jeśli równania są sprzeczne (np. równania reprezentują równoległe linie), układ nie ma rozwiązań. Jeśli równania są zależne (to samo równanie przekształcone), układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
• Przy ułamkach warto pomnożyć obie strony równania przez wspólny mianownik, aby uniknąć ułamków w obliczeniach.

Przykłady szczegółowo

Przykład 1 — zadanie liczbowo-pieniężne

Treść: Ania ma łącznie 16 monet — tylko 2-złotowe i 5-złotowe. Łączna wartość wynosi 50 zł. Ile monet każdego rodzaju?

Rozwiązanie — kroki

1. Zdefiniuj niewiadome:

• \(x\) — liczba monet 2-złotowych
• \(y\) — liczba monet 5-złotowych

2. Zapisz równania z treści:

\[ x + y = 16 \] \[ 2x + 5y = 50 \]

3. Wybieramy metodę eliminacji (eliminuje \(x\) przez pomnożenie pierwszego równania przez 2):

\[ 2(x + y) = 32 \quad\Rightarrow\quad 2x + 2y = 32 \] \[ (2x + 5y) - (2x + 2y) = 50 - 32 \] \[ 3y = 18 \quad\Rightarrow\quad y = 6 \]

4. Obliczamy \(x\):

\[ x = 16 - y = 16 - 6 = 10 \]

5. Sprawdzenie wartości:

\[ 10 \cdot 2 + 6 \cdot 5 = 20 + 30 = 50 \]

Odpowiedź: Ania ma 10 monet 2-złotowych i 6 monet 5-złotowych.

Przykład 2 — zadanie o wieku

Treść: Janek i Michał mają razem 28 lat. Pięć lat temu Janek był dwa razy starszy od Michała. Ile mają teraz lat?

Rozwiązanie — kroki

1. Zdefiniuj niewiadome:

• \(j\) — obecny wiek Janka (w latach)
• \(m\) — obecny wiek Michała (w latach)

2. Zapisz równania:

\[ j + m = 28 \]

Pięć lat temu: \(j-5\) i \(m-5\), a warunek "Janek był dwa razy starszy" daje

\[ j - 5 = 2\,(m - 5) \]

3. Uprość drugie równanie:

\[ j - 5 = 2m - 10 \quad\Rightarrow\quad j = 2m - 5 \]

4. Podstaw do pierwszego równania:

\[ (2m - 5) + m = 28 \] \[ 3m - 5 = 28 \quad\Rightarrow\quad 3m = 33 \quad\Rightarrow\quad m = 11 \]

5. Oblicz \(j\):

\[ j = 28 - m = 28 - 11 = 17 \]

Sprawdzenie: 5 lat temu Janek miał 12 lat, Michał 6 lat — rzeczywiście \(12 = 2 \cdot 6\). Odpowiedź: Janek 17 lat, Michał 11 lat.

Przykład 3 — zadanie mieszankowe (stężenia)

Treść: Przygotować 10 litrów roztworu o stężeniu 15% mieszając roztwór 10% z roztworem 20%. Ile litrów każdego?

Rozwiązanie — kroki

1. Zdefiniuj niewiadome:

• \(x\) — litry roztworu 10%
• \(y\) — litry roztworu 20%

2. Zapisz równania:

\[ x + y = 10 \]

Zawartość soli (w litrach czystej substancji): \(0.10x\) oraz \(0.20y\). W sumie ma być \(1.5\) litra (bo \(0.15 \cdot 10 = 1.5\)):

\[ 0.10x + 0.20y = 1.5 \]

3. Dla wygody pomnóż drugie równanie przez 10 (usuwa ułamki):

\[ x + 2y = 15 \]

4. Odejmij pierwsze równanie od drugiego:

\[ (x + 2y) - (x + y) = 15 - 10 \] \[ y = 5 \] \[ x = 10 - y = 5 \]

Sprawdzenie: \(5\) l 10% daje \(0.5\) l soli, \(5\) l 20% daje \(1.0\) l soli — razem \(1.5\) l w \(10\) l, czyli 15%. Odpowiedź: po \(5\) litrów każdego roztworu.

Przykład 4 — zadanie geometryczne (prostokąt)

Treść: Obwód prostokąta wynosi 30 cm, różnica długości boków to 4 cm. Wyznacz długości boków.

Rozwiązanie — kroki

1. Zdefiniuj niewiadome:

• \(a\) — dłuższy bok (cm)
• \(b\) — krótszy bok (cm)

2. Zapisz równania:

\[ 2a + 2b = 30 \] \[ a - b = 4 \]

3. Podziel pierwsze równanie przez 2 (upraszczamy):

\[ a + b = 15 \]

4. Dodaj oba uproszczone równania, żeby wyeliminować \(b\):

\[ (a + b) + (a - b) = 15 + 4 \] \[ 2a = 19 \quad\Rightarrow\quad a = 9.5 \]

5. Oblicz \(b\):

\[ b = 15 - a = 15 - 9.5 = 5.5 \]

Sprawdzenie: obwód \(2\cdot 9.5 + 2\cdot 5.5 = 19 + 11 = 30\), różnica \(9.5 - 5.5 = 4\). Odpowiedź: boki mają długości 9.5 cm i 5.5 cm.

Metody rozwiązania układów — krótki przewodnik

• Eliminacja (metoda przeciwnych współczynników): przemnóż równania tak, aby współczynniki jednej ze zmiennych były sobie przeciwne, a następnie dodaj/odejmij równania. Dobra przy równaniach z całkowitymi współczynnikami.
• Podstawianie: z jednego równania wyznacz jedną zmienną i podstaw do drugiego. Wygodne gdy jedno równanie jest proste do przekształcenia.
• Metoda graficzna: narysuj proste odpowiadające równaniom i wyznacz punkt przecięcia. Użyteczne do interpretacji geometrycznej i szacowania rozwiązań.

Dodatkowe wskazówki i najczęstsze błędy

• Zawsze podawaj jednostki (zł, lata, litry, cm). Pomaga to uniknąć pomyłek przy interpretacji wyniku.
• Sprawdzaj, czy rozwiązanie spełnia wszystkie równania układu oraz warunki dodatkowe (np. liczby całkowite, nieujemność).
• Przy ułamkach i procentach warto najpierw pozbyć się ułamków przez mnożenie obu stron równania przez odpowiednią liczbę, aby nie pracować długo z ułamkami.
• Upewnij się, że zapisałeś wszystkie dane z treści — brak jednego warunku prowadzi do nieokreśloności (nieskończenie wiele rozwiązań) lub sprzeczności.

Podsumowując: kluczem do rozwiązywania zadań tekstowych przez układy równań jest systematyczne podejście — nazwanie niewiadomych, dokładne przetłumaczenie treści na równania, wybór wygodnej metody i staranne sprawdzenie wyniku. Ćwicząc różne typy zadań (liczbowo-pieniężne, wiekowe, mieszanki, geometryczne), nabierzesz wprawy w szybkim rozpoznawaniu schematu i poprawnym ustawianiu równań. Powodzenia!