Metoda eliminacji (metoda przeciwnych współczynników)

Idea metody

Metoda eliminacji polega na takiej operacji na równaniach układu, aby pozbyć się jednej niewiadomej poprzez dodawanie lub odejmowanie równań. Jeśli współczynniki przy wybranej niewiadomej w dwóch równaniach są przeciwne (np. \(2\) i \(-2\)), ich zsumowanie usuwa tę niewiadomą. Jeśli nie są przeciwne, mnożymy jedno lub oba równania przez odpowiednie liczby, aby doprowadzić do przeciwieństw.

Kiedy warto jej użyć?

• Gdy współczynniki są „ładne” i łatwo je sprowadzić do wspólnej wielokrotności (np. małe liczby).
• Gdy szybciej można uzyskać eliminację niż przy podstawianiu — mniej obliczeń przy prostych współczynnikach.
• Gdy chcemy wykonać operacje na równaniach bez wprowadzania złożonych wyrażeń ułamkowych.

Kroki metody (praktyczny algorytm)

1. Wybierz, którą niewiadomą chcesz wyeliminować (np. \(x\) lub \(y\)).
2. Sprawdź współczynniki przy tej niewiadomej w obu równaniach. Jeśli są przeciwne — przejdź do kroku 4.
3. Jeżeli nie są przeciwne, pomnóż jedno lub oba równania przez odpowiednie liczby, aby ich współczynniki stały się przeciwne (najczęściej korzysta się z najmniejszej wspólnej wielokrotności współczynników).
4. Dodaj lub odejmij równania stronami tak, aby wyeliminować wybraną niewiadomą.
5. Rozwiąż powstałe jedno równanie z jedną niewiadomą.
6. Podstaw otrzymaną wartość do jednego z oryginalnych równań i wyznacz drugą niewiadomą.
7. Sprawdź rozwiązanie podstawiając je do obu równań.

Przykłady z wyjaśnieniami

Przykład 1 — gdy współczynniki są już przeciwne

Układ:

\[ 3x + 2y = 19 \] \[ 4x - 2y = 2 \]

Współczynniki przy \(y\) to \(2\) i \(-2\) — są przeciwne, więc dodajemy równania stronami:

\[ (3x + 2y) + (4x - 2y) = 19 + 2 \] \[ 7x = 21 \]

Stąd \(x = 21/7 = 3\).

Podstawiamy \(x = 3\) do pierwszego równania:

\[ 3(3) + 2y = 19 \quad\Rightarrow\quad 9 + 2y = 19 \quad\Rightarrow\quad 2y = 10 \quad\Rightarrow\quad y = 5. \]

Rozwiązanie: \((x,y) = (3,5)\). Sprawdzenie w drugim równaniu: \(4(3) - 2(5) = 12 - 10 = 2\) — zgadza się.

Przykład 2 — gdy trzeba najpierw pomnożyć równania

Układ:

\[ 2x + 3y = 17 \] \[ 3x + 4y = 25 \]

Wybieramy eliminację \(x\). Współczynniki przy \(x\) to \(2\) i \(3\), LWW (najmniejsza wspólna wielokrotność) to \(6\). Doprowadzamy do współczynników \(6\) i \(6\) przez mnożenie:

\[ \text{pierwsze równanie} \times 3: \quad 6x + 9y = 51 \] \[ \text{drugie równanie} \times 2: \quad 6x + 8y = 50 \]

Teraz odejmujemy drugie równanie od pierwszego (aby uzyskać \(6x - 6x = 0\)):

\[ (6x + 9y) - (6x + 8y) = 51 - 50 \] \[ 0x + y = 1 \]

Stąd \(y = 1\).

Podstawiamy \(y = 1\) do pierwszego równania oryginalnego:

\[ 2x + 3(1) = 17 \quad\Rightarrow\quad 2x + 3 = 17 \quad\Rightarrow\quad 2x = 14 \quad\Rightarrow\quad x = 7. \]

Rozwiązanie: \((x,y) = (7,1)\). Sprawdzenie w drugim równaniu: \(3(7) + 4(1) = 21 + 4 = 25\).

Przykład 3 — wybór, którą zmienną eliminować

Układ:

\[ x + 2y = 10 \] \[ 2x + 5y = 21 \]

Możemy łatwo wyeliminować \(x\) (współczynniki \(1\) i \(2\), LWW = \(2\)) albo \(y\) (współczynniki \(2\) i \(5\), LWW = \(10\)). Wybierzemy eliminację \(x\). Mnożymy pierwsze równanie przez \(2\):

\[ 2x + 4y = 20 \]

Teraz odejmujemy to równanie od drugiego:

\[ (2x + 5y) - (2x + 4y) = 21 - 20 \] \[ 0x + y = 1 \]

Stąd \(y = 1\). Podstawiamy do pierwszego równania:

\[ x + 2(1) = 10 \quad\Rightarrow\quad x = 8. \]

Rozwiązanie: \((x,y) = (8,1)\).

Dodatkowe objaśnienia i wskazówki

• Wybór zmiennej do eliminacji: zazwyczaj wybieramy tę, której współczynniki są już równe lub przeciwne, albo którą można łatwo sprowadzić do wspólnego współczynnika. To minimalizuje mnożenia i błędy obliczeniowe.
• Jak dobierać mnożniki: weź LWW współczynników przy wybranej zmiennej i pomnóż każde równanie przez liczbę, dzięki której współczynniki staną się równe tej LWW (z odpowiednim znakiem, jeśli chcemy uzyskać przeciwne wartości).
• Uwaga na znaki: przy odejmowaniu trzeba szczególnie uważać na kolejność (które równanie odejmujemy od którego). Przy błędnym znaku zamiast eliminacji otrzymamy niewłaściwe równanie.
• Operacje arytmetyczne: staraj się wykonywać mnożenia i dodawania/odejmowania w sposób uporządkowany (zapis kolejnych kroków) — ułatwia to odnalezienie błędu.
• Specjalne przypadki:
  • Jeśli po eliminacji obu niewiadomych otrzymasz prawdę identyczną, np. \(0 = 0\), to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (równania są zależne — jedno jest wielokrotnością drugiego).
  • Jeśli otrzymasz sprzeczność, np. \(0 = 5\), to układ jest niesprzeczny i nie ma rozwiązań.
• Sprawdzanie wyniku: zawsze podstaw otrzymane wartości do obu oryginalnych równań — to najpewniejszy sposób wyłapania pomyłek.
• Gdy pojawią się ułamki: jeśli mnożenie prowadzi do dużych LWW i pojawiają się ułamki, rozważ czy nie łatwiej będzie zastosować podstawianie lub rozwiązać układ metodą macierzową (np. wyznaczniki), zwłaszcza przy większej liczbie niewiadomych.

Podsumowanie

Metoda eliminacji jest wydajną i intuicyjną techniką rozwiązywania układów równań liniowych 2×2 (i większych). Kluczem jest uzyskanie przeciwstawnych współczynników dla jednej zmiennej przez odpowiednie mnożenia, a następnie dodanie lub odjęcie równań. Praktyka w doborze mnożników i staranne wykonywanie działań arytmetycznych minimalizuje błędy i pozwala szybko znaleźć poprawne rozwiązanie.