Metoda podstawiania (substytucji)

Idea metody: z jednego równania układu wyraża się jedną zmienną przez drugą, a następnie podstawia to wyrażenie do drugiego równania. W rezultacie otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą, które możemy rozwiązać, a potem obliczyć drugą niewiadomą ze związku, który wcześniej wyznaczyliśmy.

Metoda jest uniwersalna i zawsze prowadzi do poprawnego wyniku, chociaż czasami bywa pracochłonna (pojawiają się ułamki, trzeba dokładnie prowadzić przekształcenia). Poniżej opisano krok po kroku oraz przedstawiono dwa przykłady z objaśnieniami.

Krok po kroku

1. Wybór równania i wyznaczenie jednej zmiennej. Najlepiej wybrać równanie, w którym współczynnik przy jednej ze zmiennych to \(1\) lub \(-1\) — ułatwia to zapis wyrażenia. Wyznaczamy np. \(y\) wprost: \(y = \text{(wyrażenie w } x)\).

2. Podstawienie. Podstawiamy wyznaczone wyrażenie zamiast tej zmiennej do drugiego równania. Otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą.

3. Rozwiązanie równania jednowymiarowego. Upraszczamy i rozwiązujemy równanie, otrzymując wartość jednej zmiennej (np. \(x\)).

4. Obliczenie drugiej zmiennej. Podstawiamy otrzymaną wartość z powrotem do wyrażenia uzyskanego w Kroku 1 (lub do jednego z oryginalnych równań) i obliczamy drugą zmienną.

5. Sprawdzenie (opcjonalne, ale zalecane). Podstawiamy otrzymane rozwiązanie do obu równań układu, by upewnić się, że spełnia oba równania.

Przykład 1

Rozwiąż układ metodą podstawiania:

\[ \begin{cases} 2x + y = 9, \\ x - 2y = -8. \end{cases} \]

Rozwiązanie

1. Wyznaczamy z pierwszego równania \(y\):

   \[2x + y = 9 \quad\Rightarrow\quad y = 9 - 2x.\]

2. Podstawiamy \(y = 9 - 2x\) do drugiego równania:

   \[x - 2(9 - 2x) = -8.\]

3. Upraszczenie i rozwiązanie równania:

   \[x - 18 + 4x = -8,\]

   \[5x - 18 = -8,\]

   \[5x = 10,\]

   \[x = 2.\]

4. Obliczamy \(y\) podstawiając do \(y = 9 - 2x\):

   \[y = 9 - 2\cdot 2 = 9 - 4 = 5.\]

5. Sprawdzenie:

   Do pierwszego równania: \[2(2) + 5 = 4 + 5 = 9.\]

   Do drugiego równania: \[2 - 2(5) = 2 - 10 = -8.\]

   Obie równości są prawdziwe, więc rozwiązaniem jest \((x,y) = (2,5)\).

Przykład 2 (z ułamkami)

Rozwiąż układ metodą podstawiania:

\[ \begin{cases} x + 2y = 7, \\ 3x - y = 1. \end{cases} \]

Rozwiązanie

1. Wyznaczamy z pierwszego równania \(x\):

   \[x = 7 - 2y.\]

2. Podstawiamy do drugiego równania:

   \[3(7 - 2y) - y = 1.\]

3. Upraszczenie i rozwiązanie:

   \[21 - 6y - y = 1,\]

   \[21 - 7y = 1,\]

   \[-7y = 1 - 21 = -20,\]

   \[y = \frac{-20}{-7} = \frac{20}{7}.\]

4. Obliczamy \(x\):

   \[x = 7 - 2\cdot\frac{20}{7} = 7 - \frac{40}{7} = \frac{49}{7} - \frac{40}{7} = \frac{9}{7}.\]

5. Sprawdzenie:

   \[x + 2y = \frac{9}{7} + 2\cdot\frac{20}{7} = \frac{9}{7} + \frac{40}{7} = \frac{49}{7} = 7,\]

   \[3x - y = 3\cdot\frac{9}{7} - \frac{20}{7} = \frac{27}{7} - \frac{20}{7} = \frac{7}{7} = 1.\]

   Rozwiązanie: \(\displaystyle (x,y) = \bigl(\tfrac{9}{7},\tfrac{20}{7}\bigr)\).

Uwagi i dodatkowe wyjaśnienia

• Eliminacja wszystkich niewiadomych: Jeśli w Kroku 3 (po podstawieniu) wszystkie człony z niewiadomą się wyeliminują i otrzymamy zdanie prawdziwe, np.

  \[0 = 0,\]

  to oznacza, że równania są zależne i układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (proste nakładają się). Wtedy rozwiązania opisujemy parametrycznie (np. \(y = 9 - 2x\), gdzie \(x\) jest parametrem).

• Sprzeczność: Jeśli otrzymamy równanie sprzeczne, np.

  \[0 = 5,\]

  to układ nie ma rozwiązań (proste są równoległe).

• Współczynniki różne od \(\pm 1\): Metodę można stosować zawsze. Gdy współczynniki nie są \(\pm 1\), w wyniku wyznaczania zmiennej mogą pojawić się ułamki — to normalne. Aby zmniejszyć liczbę ułamków, czasem przed wyznaczeniem jednej zmiennej można przemnożyć całe równanie przez liczby całkowite, jednak takie działanie jest już zbliżone do idei metody eliminacji.

• Wybór równania do podstawiania: Zazwyczaj wybieramy to równanie, z którego najłatwiej wyrazić zmienną (współczynnik \(1\) lub \(-1\)). Jeśli żaden współczynnik nie jest taki prosty, wybierzemy i tak najbardziej wygodny wariant lub rozważymy metodę przeciwną (eliminację).

• Porady praktyczne:

  • Staraj się upraszczać wyrażenia na bieżąco i porządkować etapy obliczeń, by uniknąć błędów arytmetycznych.
  • Jeśli pojawiają się ułamki, pracuj z nimi starannie (najlepiej sprowadzać do wspólnego mianownika tam, gdzie to pomaga) lub korzystaj z kalkulatora podczas sprawdzania wyników.
  • Zawsze wykonaj sprawdzenie rozwiązania podstawiając otrzymane wartości do oryginalnych równań.