1. Potęgi i prawa działań na potęgach
Dwie paczki po trzy jednakowe czynniki to razem sześć czynników. Prawa potęg wynikają właśnie z liczenia czynników, a nie z dowolnego działania na małych liczbach zapisanych u góry.
Po tej lekcji: Obliczysz potęgi i zastosujesz prawa mnożenia, dzielenia oraz potęgowania potęg. Rozpoznasz wpływ nawiasu na znak wyniku.
Potrzebne podstawy: Mnożysz liczby ujemne i ułamki; znasz kolejność działań.
Co liczy wykładnik?
Definicja potęgi
an dla dodatniej liczby naturalnej n oznacza iloczyn n czynników równych a. Litera a oznacza podstawę, n — wykładnik. Na przykład 2³ = 2 · 2 · 2 = 8, a a¹ = a.
Podstawa może być ułamkiem. (1/2)³ = (1/2) · (1/2) · (1/2) = 1/8. Kolejne potęgi liczby 1/2 maleją, choć wykładniki rosną. Nie każda potęga jest większa od swojej podstawy.
Trzy prawa i ich uzasadnienia
| Działanie | Reguła | Dlaczego? |
|---|---|---|
| am · an | am+n | Łączymy dwie grupy czynników. |
| am : an | am−n | Skracamy n jednakowych czynników. |
| (am)n | amn | Mamy n grup po m czynników. |
W tabeli m i n są dodatnimi liczbami naturalnymi. Przy dzieleniu wymagamy a ≠ 0 i m ≥ n. Gdy m = n, iloraz wynosi 1; dlatego dla a ≠ 0 przyjmujemy a⁰ = 1. Zapisu 0⁰ tutaj nie definiujemy.
Uprość, a dopiero potem oblicz
- 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128: dodajemy wykładniki, bo podstawa jest wspólna.
- 5⁶ : 5⁴ = 5² = 25: cztery czynniki z licznika skracają się z czterema z mianownika.
- (3²)³ = 3⁶ = 729: trzy grupy po dwa czynniki dają sześć czynników.
- 7³ : 7³ = 7⁰ = 1. Iloraz niezerowej liczby przez samą siebie jest równy 1.
Minus nie zawsze należy do podstawy
Porównaj trzy zapisy
- (−2)⁴ = 16, ponieważ cztery ujemne czynniki tworzą dwie pary o iloczynie dodatnim.
- (−2)³ = −8: po utworzeniu jednej pary zostaje jeden czynnik ujemny.
- −2⁴ = −16: bez nawiasu najpierw liczymy 2⁴, potem stosujemy minus.
Gdzie nie wolno użyć prawa?
2³ + 2² = 8 + 4 = 12, a nie 2⁵. Dodawanie potęg nie jest mnożeniem. Także 2³ · 3² nie ma wspólnej podstawy — oblicz obie potęgi osobno.
Twoja kolej — rozwiązuj przed odsłonięciem odpowiedzi
Zapisuj rozwiązania w zeszycie. Jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Następnie porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem.
Zadanie 1
Wskazówka do zadania 1
Rozpisz iloczyny.
Rozwiązanie zadania 1
3 · 3 · 3 · 3 = 81; (1/2) · (1/2) · (1/2) = 1/8.
Zadanie 2
Wskazówka do zadania 2
Sprawdź wspólną podstawę.
Rozwiązanie zadania 2
2⁸ = 256; 7⁴ = 2401.
Zadanie 3
Wskazówka do zadania 3
W potędze potęgi mnożysz wykładniki.
Rozwiązanie zadania 3
5⁶ = 15 625; 10⁴ = 10 000.
Zadanie 4
Wskazówka do zadania 4
Zaznacz podstawę każdego zapisu.
Rozwiązanie zadania 4
9, −9 i −27. Nawias obejmuje minus w pierwszym i trzecim zapisie.
Zadanie 5
Wskazówka do zadania 5
Policz, nie porównuj tylko wykładników.
Rozwiązanie zadania 5
2⁵ = 32, a 5² = 25; większe jest 2⁵.
Zadanie 6
Wskazówka do zadania 6
Policz obie strony.
Rozwiązanie zadania 6
Nie: 16 + 64 = 80, natomiast 4⁵ = 1024. Prawo dodawania wykładników dotyczy iloczynu.
Co warto zachować w pamięci?
Wybierz regułę na podstawie działania i podstaw potęg. Wykładnik liczy czynniki, a nawias wyznacza całą podstawę.
Jeśli wynik się nie zgadza, wróć do przykładu dotyczącego tej umiejętności. Wyjaśnij każdy krok i spróbuj ponownie bez zaglądania do odpowiedzi.
