Funkcja — definicja i przykłady

Funkcją (inaczej: odwzorowaniem) nazywamy takie przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi pewnego zbioru przypisywany jest dokładnie jeden element innego zbioru. Pierwszy zbiór nazywamy dziedziną funkcji, a drugi zbiór to jej przeciwdziedzina. Formalnie, jeśli \(f\) jest funkcją określoną na zbiorze \(X\) i przyjmującą wartości w zbiorze \(Y\), to zapisujemy to jako \(f: X \to Y\). Dla każdego elementu \(x \in X\) (argumentu) istnieje dokładnie jeden przyporządkowany element \(y \in Y\). Ten element \(y\) nazywamy wartością funkcji \(f\) dla argumentu \(x\) i oznaczamy \(y = f(x)\).

Kluczowe pojęcia

• Dziedzina – zbiór wszystkich dopuszczalnych argumentów funkcji (zbiór \(X\) w zapisie \(f: X \to Y\)).
• Przeciwdziedzina – zbiór wszystkich możliwych wartości, jakie może przyjąć funkcja (zbiór \(Y\) w zapisie \(f: X \to Y\)). Przeciwdziedzina bywa określona z góry lub wynika z kontekstu zadania.
• Zbiór wartości – zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja przyjmuje dla argumentów ze swojej dziedziny. Jest to podzbiór przeciwdziedziedziny, obejmujący tylko rzeczywiście uzyskiwane wartości.

W funkcji niedozwolona jest sytuacja, aby jeden argument otrzymał dwie różne wartości. Innymi słowy, żadnemu elementowi dziedziny nie wolno przyporządkować dwóch różnych elementów przeciwdziedziedziny — to naruszałoby definicję funkcji. Natomiast dwóch różnych argumentów może mieć tę samą wartość funkcji (różne \(x\) mogą dawać ten sam \(f(x)\)). W praktyce funkcje oznaczamy najczęściej małymi literami, np. \(f, g, h\). Jeżeli \(y\) jest wartością funkcji \(f\) dla argumentu \(x\), to zapisujemy to w postaci równania \(y = f(x)\). Często spotkamy też zapis samego wzoru funkcji, np. \(f(x) = 2x - 5\). Oba sposoby zapisu są równoważne — traktujemy \(y\) i \(f(x)\) jako oznaczenia tej samej wartości. Zmienna \(x\) bywa nazywana zmienną niezależną, a zmienna \(y = f(x)\) — zmienną zależną (jej wartość zależy od wyboru \(x\)).

Przykłady

Przykład 1

Niech \(X = \{\text{Ala}, \text{Bartek}, \text{Celina}\}\) będzie zbiorem osób, a

\(Y = \{\text{poniedziałek}, \text{wtorek}, \text{środa}, \text{czwartek}, \text{piątek}, \text{sobota}, \text{niedziela}\}\) zbiorem dni tygodnia.

Określamy funkcję \(f: X \to Y\) tak, że każdej osobie przyporządkowujemy dzień tygodnia, w którym się urodziła. Jest to dobrze określona funkcja — każda osoba ma dokładnie jeden dzień tygodnia będący jej dniem urodzin. Na przykład jeśli Ala urodziła się w środę, to \(f(\text{Ala}) = \text{środa}\), jeśli Bartek urodził się w niedzielę, to \(f(\text{Bartek}) = \text{niedziela}\), itd. W tym przypadku dziedziną \(f\) jest zbiór osób \(X\), przeciwdziedziną — zbiór \(Y\) wszystkich dni tygodnia, a zbiorem wartości — podzbiór \(Y\) zawierający te dni, które są dniami urodzin osób z \(X\) (np. jeśli żadna z tych osób nie urodziła się w piątek, to piątek nie należy do zbioru wartości).

Przykład 2 (relacja, która nie jest funkcją)

Rozważmy przyporządkowanie, które każdej liczbie naturalnej przypisuje jej pierwiastek kwadratowy. Na pierwszy rzut oka wydaje się to sensowne, ale liczba \(4\) ma dwa pierwiastki kwadratowe: \(2\) oraz \(-2\). W omawianym przyporządkowaniu dla argumentu \(x = 4\) otrzymalibyśmy dwie różne wartości (\(y = 2\) i \(y = -2\)) — to oznacza, że nie jest spełniony warunek jednoznaczności. Takie odwzorowanie nie jest więc funkcją. Żeby z tego opisu zrobić funkcję, musielibyśmy jednoznacznie określić, który pierwiastek wybieramy (np. zawsze ten nieujemny).