Wartość największa i najmniejsza funkcji
Wartość największa funkcji (czasem nazywana maksymalną wartością funkcji) to największa z liczb należących do zbioru wartości danej funkcji. Jeśli funkcja \(f\) przyjmuje pewną wartość \(M\) i żadna inna wartość \(f(x)\) nie jest większa od \(M\), to mówimy, że \(M\) jest wartością największą funkcji.
Formalnie: niech \(D\) oznacza dziedzinę funkcji \(f\). Wówczas
\[ \exists x_0 \in D\ (f(x_0)=M)\ \land\ (\forall x \in D\ f(x)\le M). \]Analogicznie definiujemy wartość najmniejszą (minimalną): istnieje \(m\) będące wartością najmniejszą, jeśli znajdziemy \(x_1 \in D\) z \(f(x_1)=m\), a ponadto dla wszystkich \(x\in D\) zachodzi \(f(x)\ge m\). Możemy to zapisać jako:
\[ \exists x_1 \in D\ (f(x_1)=m)\ \land\ (\forall x \in D\ f(x)\ge m). \]Nie każda funkcja posiada wartość największą lub najmniejszą. Funkcja może rosnąć bez ograniczeń w górę lub w dół — wtedy mówimy, że nie ma odpowiednio wartości maksymalnej lub minimalnej (jej zbiór wartości nie ma największego albo najmniejszego elementu). Często istnienie ekstremum zależy od rozważanego przedziału (ograniczenia dziedziny). Na wykresie funkcji wartość największa to najwyższy punkt (lub punkty) wykresu, a wartość najmniejsza — najniższy punkt wykresu w danym zakresie argumentów.
Przykłady
- Funkcja \(f(x)=x^2\) określona dla wszystkich \(x\in\mathbb{R}\) ma wartość najmniejszą równą \(0\), osiąganą dla \(x=0\) (\(f(0)=0\)). Nie ma natomiast wartości największej — \(f(x)\) rośnie w nieskończoność wraz ze wzrostem \(|x|\). Zbiór wartości to \([0,+\infty)\), nieograniczony z góry.
- Funkcja \(g(x)=-x^2\) na \(\mathbb{R}\) ma wartość największą równą \(0\) (dla \(x=0\)), ale nie posiada wartości najmniejszej — zbiór wartości to \((-\infty,0]\), nieograniczony w dół.
- Rozważmy funkcję \(h(x)=x^2\) ograniczoną do przedziału \([-2,3]\) (dziedzina \(x\in[-2,3]\)). Jej wartości na tym przedziale mieszczą się między \(0\) a \(9\). Konkretne ekstremalne wartości to: wartość najmniejsza \(0\), osiągana dla \(x=0\); oraz wartość największa \(9\), osiągana dla \(x=3\) (ponieważ \(h(3)=9\), a dla żadnego innego \(x\in[-2,3]\) wartość \(h(x)\) nie jest większa niż \(9\)). Zauważmy, że w tym przypadku najmniejsza wartość wystąpiła wewnątrz przedziału, zaś największa — na krańcu przedziału (w punkcie brzegowym \(x=3\)).
- Funkcja liniowa \(k(x)=2x+1\) na całej dziedzinie \(\mathbb{R}\) nie ma ani wartości największej, ani najmniejszej — jest to funkcja nieograniczona. Jednak jeśli ograniczymy tę funkcję do przedziału \([1,4]\), to na tym przedziale będzie miała zarówno minimum, jak i maksimum: dla \(x=1\) otrzymujemy wartość najmniejszą \(k(1)=3\), a dla \(x=4\) wartość największą \(k(4)=9\).
Uwaga na różnicę między wartością a punktem
Wartość największa to sama liczba (wartość \(y\)), natomiast punkt, w którym jest ona osiągana, to konkretny argument \(x\). Gdy mówimy "funkcja osiąga wartość największą równą \(9\) dla \(x=3\)", wskazujemy zarówno maksimum funkcji (\(9\)), jak i miejsce, w którym to maksimum występuje (\(x=3\)). Jeśli funkcja nie ma górnego ograniczenia, nie posiada wartości największej; gdy nie ma dolnego ograniczenia — nie posiada wartości najmniejszej.
