Funkcje parzyste i nieparzyste

Funkcja o symetrycznej dziedzinie (tzn. takiej, że wraz z każdą liczbą \(x\) do dziedziny należy też \(-x\)) może posiadać szczególną cechę symetrii:

Definicje

Funkcja parzysta:

Dla każdego \(x\) z dziedziny. Taka funkcja daje dla argumentów przeciwnych jednakowe wyniki. Jej wykres jest symetryczny względem osi \(y\) (prawa strona wykresu jest lustrzanym odbiciem lewej).

Funkcja nieparzysta:

Dla każdego \(x\) z dziedziny. Dla argumentu przeciwnego funkcja daje wynik przeciwny ze znakiem. Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych — można to rozumieć tak, że obrócenie wykresu o \(180^\circ\) wokół punktu \((0,0)\) nie zmienia jego położenia.

Przykłady

• \(f(x)=x^2\) – funkcja parzysta, ponieważ \(f(-x)=(-x)^2 = x^2 = f(x)\). Wykres: parabola \(y=x^2\), symetryczna względem osi \(y\).
• \(g(x)=x^3\) – funkcja nieparzysta, ponieważ \(g(-x)=(-x)^3 = -x^3 = -g(x)\). Wykres: funkcja sześcienna, symetryczna względem początku układu współrzędnych.
• \(h(x)=|x|\) – funkcja parzysta. Dla każdego \(x\) mamy \(|-x| = |x|\), więc spełniony jest warunek parzystości. Wykres \(y=|x|\) jest "V-kształtny", symetryczny względem osi \(y\).
• \(p(x)=\dfrac{1}{x}\) – funkcja nieparzysta (pomijając \(x=0\), którego nie ma w dziedzinie). Mamy \(p(-x)=\dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x} = -p(x)\). Jej wykres (hiperbola) jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
• Funkcja stała \(f(x)=c\) (gdzie \(c\) jest stałą) jest parzysta dla każdego \(c\). W szczególności \(f(x)=0\) (funkcja identycznie zerowa) spełnia zarówno warunek parzystości, jak i nieparzystości jednocześnie — jest to jedyna funkcja o obu tych własnościach.

Własności

• Suma dwóch funkcji parzystych jest funkcją parzystą (np. \(x^2 + x^4\) jest parzysta).
• Suma dwóch funkcji nieparzystych jest funkcją nieparzystą (np. \(x^3 + 2x\) jest nieparzysta).
• Iloczyn dwóch funkcji parzystych jest funkcją parzystą.
• Iloczyn dwóch funkcji nieparzystych jest funkcją parzystą (np. \(( -x )\cdot(x^3) = -x^4\), które jest funkcją parzystą).
• Iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcją nieparzystą (np. \(x^2 \cdot x^3 = x^5\), funkcja nieparzysta).