Monotoniczność funkcji

Mówiąc o monotoniczności, opisujemy, czy wraz ze wzrostem argumentu \(x\) funkcja wykazuje trend wzrostowy, spadkowy czy stały. Poniżej wyróżniamy podstawowe pojęcia (zakładamy \(x_1, x_2\) z dziedziny funkcji \(f\)):

Definicje

• Funkcja rosnąca (ściśle rosnąca): dla dowolnych \(x_1 < x_2\) zachodzi \(f(x_1) < f(x_2)\). Większy argument daje większą wartość funkcji.
• Funkcja malejąca (ściśle malejąca): dla dowolnych \(x_1 < x_2\) zachodzi \(f(x_1) > f(x_2)\). Większy argument daje mniejszą wartość funkcji.
• Funkcja stała: dla dowolnych \(x_1, x_2\) zachodzi \(f(x_1) = f(x_2)\). Zmiana argumentu nie powoduje zmiany wartości funkcji.
• Funkcja niemalejąca: dla dowolnych \(x_1 < x_2\) zachodzi \(f(x_1) \le f(x_2)\). Funkcja może pozostawać na stałym poziomie lub rosnąć, ale nigdy nie maleje. (Funkcja rosnąca jest szczególnym przypadkiem niemalejącej, gdy nierówność jest zawsze ostra).
• Funkcja nierosnąca: dla dowolnych \(x_1 < x_2\) zachodzi \(f(x_1) \ge f(x_2)\). Funkcja może być stała lub maleć, byle nie rosła. (Funkcja ściśle malejąca to szczególny przypadek funkcji nierosnącej).

Jeżeli funkcja jest rosnąca, malejąca, niemalejąca lub nierosnąca na danym przedziale (lub w całej swojej dziedzinie), nazywamy ją funkcją monotoniczną (na tym przedziale). Intuicyjnie: monotoniczna, czyli "jednokierunkowa" — nie zmienia swojego trendu. Każda funkcja stała również jest monotoniczna (spełnia zarazem warunek niemalejącej i nierosnącej).

Przykłady funkcji monotonicznych

• \(f(x) = 2x + 1\) – funkcja liniowa o dodatnim współczynniku kierunkowym. Jest rosnąca w całej dziedzinie: \( \forall x_1 < x_2:\; 2x_1+1 < 2x_2+1\).
• \(g(x) = -3x + 5\) – funkcja liniowa o ujemnym współczynniku kierunkowym. Jest malejąca w całej dziedzinie: \( \forall x_1 < x_2:\; -3x_1+5 > -3x_2+5\).
• \(h(x) = 4\) – funkcja stała. Jest jednocześnie niemalejąca i nierosnąca na \(\mathbb{R}\) (właściwie niezmienna), a więc oczywiście monotoniczna.
• Funkcja określona opisowo: „dla \(x < 0\) wartość wynosi 2, a dla \(x \ge 0\) rośnie liniowo według wzoru \(f(x)=x+2\)”. Taka funkcja początkowo jest stała (na \((-\infty, 0]\)), a następnie rosnąca. W całej dziedzinie jest niemalejąca (nigdy nie zanotowała spadku). Nie jest jednak ściśle rosnąca, bo przez pewien zakres argumentów się nie zmieniała.

Funkcje monotoniczne na odcinkach

Funkcja, która na pewnym przedziale rośnie, a na innym maleje, nie jest monotoniczna w swojej pełnej dziedzinie. Przykładowo, \(f(x) = x^2\) maleje na przedziale \((-\infty, 0]\) (im większe \(x\) w stronę zera, tym mniejszy kwadrat) i rośnie na \([0, +\infty)\), więc nie zachowuje jednego kierunku zmian w całej dziedzinie. Można natomiast powiedzieć, że \(f(x)=x^2\) jest monotoniczna odcinkami: na \((-\infty,0]\) jest nierosnąca (ściśle malejąca), a na \([0,+\infty)\) niemalejąca (ściśle rosnąca).

Podobnie funkcja \(f(x)=|x|\) (wartość bezwzględna) maleje dla \(x<0\) i rośnie dla \(x>0\), czyli również nie jest monotoniczna w całym \(\mathbb{R}\), a jedynie na dwóch odrębnych kawałkach.