Funkcje dodatnie i ujemne
Mówimy, że funkcja jest dodatnia na pewnym zbiorze (przedziale) argumentów, jeżeli dla każdej wartości \(x\) z tego zbioru funkcja przyjmuje wartość większą od zera \(f(x) > 0\). Analogicznie, funkcja jest ujemna na danym przedziale, jeśli dla wszystkich \(x\) z tego przedziału \(f(x) < 0\).
Intuicyjnie: na wykresie funkcji odcinki, na których funkcja jest dodatnia, to te fragmenty krzywej, które leżą powyżej osi \(x\). Gdy funkcja jest ujemna, jej wykres znajduje się poniżej osi \(x\). Miejsca zerowe wyznaczają punkty, w których funkcja może zmieniać znak (przechodzić z dodatniej na ujemną lub odwrotnie) — o ile taka zmiana faktycznie następuje. Dla funkcji ciągłych typowo między kolejnymi miejscami zerowymi funkcja zachowuje stały znak.
Aby wyznaczyć przedziały, na których funkcja jest dodatnia lub ujemna, zwykle postępujemy następująco:
- Znajdujemy wszystkie miejsca zerowe funkcji.
- Porządkujemy je rosnąco, otrzymując podział osi \(x\) na przedziały.
- Wybieramy po jednym punkcie testowym z każdego takiego przedziału i sprawdzamy znak \(f(x)\) w tym punkcie. Ten znak będzie obowiązywał dla całego przedziału (dla funkcji ciągłych i "przyjemnych" w analizie).
- Na tej podstawie opisujemy, na których przedziałach \(x\) funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a na których ujemne.
Przykłady
1. Funkcja liniowa \(f(x) = 2x - 4\)
Miejsce zerowe to \(x = 2\). Gdy \(x < 2\), wtedy \(2x - 4 < 0\) (np. \(f(0) = -4\)), czyli na lewo od punktu \(x = 2\) funkcja jest ujemna. Gdy \(x > 2\), wówczas \(2x - 4 > 0\) (np. \(f(3) = 2\)), czyli dla argumentów większych niż \(2\) funkcja jest dodatnia. Możemy więc powiedzieć: \(f(x)\) jest ujemna dla \(x \in (-\infty, 2)\) oraz dodatnia dla \(x \in (2, +\infty)\). W punkcie \(x = 2\) funkcja przyjmuje wartość \(0\), więc nie zaliczamy go ani do przedziału dodatniego, ani ujemnego.
2. Funkcja kwadratowa \(g(x) = x^2 - 4\)
Funkcja ma miejsca zerowe \(x = -2\) oraz \(x = 2\). Dla \(x < -2\) wartość \(g(x)\) jest dodatnia (np. \(g(-3) = 5\)), w przedziale \((-2, 2)\) funkcja jest ujemna (np. \(g(0) = -4\)), a dla \(x > 2\) znów dodatnia (np. \(g(3) = 5\)). Zatem: \(g(x)\) jest dodatnia dla \(x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)\) i ujemna dla \(x \in (-2, 2)\).
3. Funkcja \(h(x) = x^2 + 1\)
Funkcja nie ma miejsc zerowych i dla każdego \(x\) daje wynik większy od zera (np. \(h(0) = 1\), \(h(5) = 26\)). Taka funkcja jest zawsze dodatnia w całej swojej dziedzinie \(\mathbb{R}\). (Analogicznie, gdyby funkcja dla wszystkich \(x\) dawała wynik ujemny, nazwalibyśmy ją zawsze ujemną.)
4. Funkcja stała \(k(x) = c\)
Jeśli \(c > 0\), to \(k(x)\) jest dodatnia dla każdego \(x\) (brak miejsc zerowych). Jeśli \(c < 0\), to \(k(x)\) jest ujemna dla każdego \(x\). Natomiast dla \(c = 0\) funkcja \(k(x) = 0\) jest identycznie równa zero dla wszystkich \(x\) (nie zalicza się jej ani do funkcji dodatnich, ani ujemnych).
