Miejsca zerowe funkcji

Miejscem zerowym nazywamy taką wartość argumentu \(x_0\), dla której funkcja przyjmuje wartość zero. Innymi słowy, \(x_0\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\), jeśli \(f(x_0) = 0\). Aby znaleźć miejsca zerowe, rozwiązujemy równanie \(f(x) = 0\).

Geometrycznie miejsca zerowe to punkty, w których wykres funkcji przecina oś \(x\) (oś odciętych). Jeśli wykres przechodzi przez punkt o współrzędnych \( (x_0, 0) \), to \(x_0\) jest miejscem zerowym. Funkcja może mieć jedno, wiele lub wcale żadnego miejsca zerowego — w zależności od przebiegu.

Przykłady

• Funkcja liniowa: \(f(x) = 2x - 4\) ma jedno miejsce zerowe: \(x = 2\), ponieważ \(f(2) = 2\cdot 2 - 4 = 0\). Wykres tej funkcji (prosta) przecina oś \(x\) w punkcie \( (2, 0) \).
• Funkcja kwadratowa: \(g(x) = x^2 - 4\) ma dwa miejsca zerowe: \(x = -2\) oraz \(x = 2\), ponieważ \(g(-2) = (-2)^2 - 4 = 0\) i \(g(2) = 2^2 - 4 = 0\). Jej wykres przecina oś \(x\) w dwóch punktach: \( (-2, 0) \) i \( (2, 0) \).
• Brak miejsc zerowych: Funkcja \(h(x) = x^2 + 1\) nie ma żadnego miejsca zerowego, gdyż dla każdego \(x\) wartość \(h(x)\) jest dodatnia (\(x^2 + 1 \ge 1\) dla wszystkich \(x\)). Równanie \(x^2 + 1 = 0\) nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych, a wykres tej funkcji nie przecina osi \(x\).