Dziedzina i zbiór wartości funkcji

Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich wartości argumentu \(x\), dla których funkcja ma określoną (zdefiniowaną) wartość. Innymi słowy, to zbiór wszystkich \(x\), które można wstawić do wzoru funkcji, aby otrzymać poprawny wynik.

Zbiór wartości (czasem zwany zakresem wartości) to zbiór wszystkich liczb (lub obiektów innego typu), jakie funkcja może przyjmować jako wynik.

Dziedzina naturalna

Jeżeli w treści zadania nie podano inaczej, przyjmuje się dziedzinę naturalną – czyli najszerszy możliwy zbiór argumentów dopuszczalnych przez wzór. W praktyce oznacza to wszystkie liczby rzeczywiste, dla których wyrażenie opisujące funkcję ma sens matematyczny.

Oto typowe ograniczenia, które mogą wykluczać pewne \(x\) z dziedziny:

• Nie wolno dzielić przez \(0\). Jeśli wzór funkcji zawiera ułamek (np. \(f(x)=\dfrac{1}{x-3}\)), należy wykluczyć takie \(x\), dla których mianownik zeruje się. Np. w funkcji \(f(x)=\dfrac{1}{x-3}\) niedozwolone jest \(x=3\) (bo powoduje dzielenie przez zero). Wówczas dziedzina to \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \).
• Nie wolno wyznaczać pierwiastka parzystego stopnia z liczby ujemnej. Jeśli wzór zawiera np. pierwiastek kwadratowy, trzeba wymagać, by wyrażenie podpierwiastkowe było nieujemne. Np. funkcja \(g(x)=\sqrt{2x-1}\) ma sens tylko, gdy \(2x-1 \ge 0\), czyli \(x \ge \dfrac{1}{2}\). Jej dziedzina to \(\left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right)\).
• Inne rzadsze ograniczenia dotyczą np. logarytmów (argument logarytmu musi być dodatni) – ale logarytmy nie pojawią się na tym etapie nauki.

Jeżeli we wzorze funkcji nie występuje żadne niedozwolone działanie, zazwyczaj przyjmujemy, że dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych \( \mathbb{R} \) (o ile kontekst nie ogranicza dziedziny inaczej).

W wielu zadaniach dziedzina bywa podana explicite przy opisie funkcji – np. "funkcja \(f: [0,10] \to \mathbb{R}\) dana wzorem ...", co oznacza, że dziedziną jest przedział \([0,10]\), nawet jeśli wzór mógłby mieć szerszą dziedzinę naturalną.

Jak wyznaczyć zbiór wartości

Zbiór wartości funkcji można określić, analizując, jakie wartości \(y\) są możliwe do otrzymania. Czasami wyznaczenie zbioru wartości bywa trudniejsze – wymaga rozważenia "odwrotnej" zależności: dla jakich \(y\) równanie \(f(x)=y\) ma rozwiązanie?

Na początkowym etapie nauki najczęściej wyznaczamy zbiór wartości na podstawie kształtu wykresu lub własności algebraicznych funkcji (np. zauważając, że pewne wartości \(y\) są osiągalne lub nie).

Przykłady typowych funkcji

• \(f(x)=2x+1\). Dziedzina: \( \mathbb{R} \) (dowolne \(x\) można podstawić). Zbiór wartości: \( \mathbb{R} \) (funkcja liniowa przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste).

• \(f(x)=x^2\). Dziedzina: \( \mathbb{R} \). Zbiór wartości: \(\left[0, +\infty\right)\), ponieważ kwadrat każdej liczby jest nieujemny (nie da się otrzymać wartości ujemnej z tego wzoru).

• \(f(x)=\dfrac{1}{x}\). Dziedzina: \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) (nie wolno dzielić przez zero). Zbiór wartości: \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \). Funkcja \(\dfrac{1}{x}\) może przyjąć dowolną wartość różną od zera – nigdy nie osiągnie \(y=0\).

• \(f(x)=\sqrt{x}\). Dziedzina: \(\left[0, +\infty\right)\) (wymagamy \(x \ge 0\) pod pierwiastkiem). Zbiór wartości: \(\left[0, +\infty\right)\) (pierwiastek kwadratowy zawsze jest nieujemny).

Uwagi dotyczące wykresu

Aby wyznaczyć zbiór wartości bardziej skomplikowanej funkcji, często warto posłużyć się jej wykresem. Patrząc na wykres, możemy odczytać najmniejszą wartość (o ile istnieje) oraz największą wartość funkcji, a także sprawdzić, czy funkcja biegnie w nieskończoność w górę lub w dół (co oznacza brak odpowiednio największej lub najmniejszej wartości). Te pojęcia – wartość najmniejsza i największa – omówimy dokładniej w dalszej części.