Odczytywanie informacji z wykresu funkcji

Mając dany wykres funkcji, możemy z niego odczytać wiele informacji na temat funkcji. Podstawową umiejętnością jest wyznaczanie wartości funkcji dla danego argumentu oraz znajdowanie argumentów, dla których funkcja przyjmuje określoną wartość.

Wyznaczanie wartości funkcji dla danego argumentu

Aby odczytać \(f(a)\) (wartość funkcji dla argumentu \(a\)) wykonujemy następujące kroki:

1. Na wykresie odnajdujemy punkt o odciętej (wartości na osi \(x\)) równej \(a\).
2. Rysujemy pionową prostą \(x = a\) i sprawdzamy, gdzie przecina ona wykres funkcji.
3. Punkt przecięcia leży na wykresie i ma współrzędne \( (a, f(a)) \). Współrzędna \(y\) tego punktu jest właśnie szukaną wartością \(f(a)\).
4. Jeżeli linia \(x = a\) nie przecina wykresu (np. wykres urywa się przed tą wartością albo ma w tym miejscu przerwę), to oznacza, że \(a\) nie należy do dziedziny funkcji — funkcja nie jest dla niego określona, więc \(f(a)\) nie istnieje.

Znajdowanie argumentów, dla których \(f(x) = b\)

Aby znaleźć argument \(x\), dla którego \(f(x) = b\) (czyli funkcja przyjmuje wartość \(b\)) postępujemy tak:

1. Na osi pionowej (\(y\)) lokalizujemy punkt \(y = b\).
2. Prowadzimy poziomą prostą na wysokości \(b\) (linię \(y = b\)).
3. Sprawdzamy punkty przecięcia tej linii z wykresem funkcji:
   • Jeśli linia \(y = b\) przecina wykres w jednym punkcie \((c, b)\), to współrzędna \(x\) tego punktu (\(x = c\)) jest jedynym rozwiązaniem równania \(f(x) = b\).
   • Jeśli linia \(y = b\) przecina wykres w kilku punktach, to funkcja przyjmuje wartość \(b\) dla kilku różnych argumentów — odczytujemy wszystkie odpowiednie współrzędne \(x\) tych punktów.
   • Jeżeli linia \(y = b\) w ogóle nie przecina wykresu, to równanie \(f(x) = b\) nie ma rozwiązania (funkcja nigdy nie osiąga wartości \(b\)).

Przykład

Załóżmy, że znamy wykres pewnej funkcji i zauważamy, iż przechodzi on przez punkt \( (2, 5) \). Możemy stwierdzić, że \(f(2) = 5\) (dla argumentu \(2\) funkcja przyjmuje wartość \(5\)).

Teraz pytanie odwrotne: dla jakiego \(x\) funkcja daje wartość \(3\)? Spoglądamy na wysokość \(y = 3\) i widzimy, że linia \(y = 3\) przecina wykres funkcji w dwóch punktach, na przykład \( (1, 3) \) oraz \( (4, 3) \). To oznacza, że \(f(1) = 3\) oraz \(f(4) = 3\). Funkcja przyjmuje wartość \(3\) dla argumentów \(x = 1\) i \(x = 4\).

Gdyby pozioma linia na wysokości \(3\) nie przecinała w ogóle wykresu, wówczas równanie \(f(x) = 3\) nie miałoby rozwiązań (funkcja nigdy nie osiąga wartości \(3\) dla żadnego \(x\)).