Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymierne to ułamki, w których licznik i/lub mianownik są wyrażeniami algebraicznymi (wielomianami). Przykład: \( \frac{x^2-1}{x+1} \). Aby dodać lub odjąć dwa (lub więcej) wyrażeń wymiernych, trzeba sprowadzić je do wspólnego mianownika — podobnie jak przy ułamkach liczbowych. Często konieczne jest rozkładanie wielomianów na czynniki, by ustalić najmniejszy wspólny mianownik (NWM).

Kroki postępowania (szczegółowo)

1. Rozłóż mianowniki na czynniki.

   Faktoryzacja (np. rozkład trójmianów, wyciąganie wspólnego czynnika, schemat Hornera) pomaga dostrzec wspólne czynniki. Przykład: dla mianowników \(x^2-1\) i \(x-1\) rozkład \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) pokazuje, że drugi mianownik jest czynnikiem pierwszego.

2. Wyznacz najmniejszy wspólny mianownik (NWM).

   NWM to iloczyn wszystkich unikalnych czynników występujących w mianownikach, z uwzględnieniem ich najwyższych potęg. Jeśli w jednym mianowniku jest \((x+1)^2\), a w innym tylko \((x+1)\), to w NWM umieszczamy \((x+1)^2\). Każdy mianownik uzyskuje się przez podzielenie NWM przez dany mianownik.

3. Rozszerz każdy ułamek do NWM.

   Dopisujemy brakujące czynniki do mianownika i mnożymy licznik przez te same czynniki (mnożymy licznik i mianownik przez to samo wyrażenie, więc wartość ułamka nie zmienia się). Celem jest uzyskanie jednakowych mianowników równych NWM.

4. Dodaj lub odejmij liczniki.

   Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika operujemy tylko na licznikach — dodajemy albo odejmujemy je algebraicznie, a mianownik pozostaje ten sam.

5. Uprość wynik i sprawdź dziedzinę.

   Spróbuj rozłożyć otrzymany licznik i sprawdzić, czy można coś skrócić z mianownikiem. Ważne: jeśli jakiś czynnik mianownika był równy zero dla pewnej wartości \(x\), to ta wartość jest wyłączona z dziedziny całego wyjściowego wyrażenia — nawet gdy potem skrócimy ten czynnik algebraicznie. W ostatecznym zapisie podaj wykluczenia z dziedziny (np. \(x\neq -2, -1\)).

Krótka przypominajka o czynnikach i skracaniu

• Dlaczego rozkład na czynniki?

  Rozkład ujawnia wspólne czynniki i ich potęgi. Przykład: dla mianowników \(x+2\) oraz \((x+1)^2\) NWM to \((x+2)(x+1)^2\) — trzeba uwzględnić najwyższą potęgę czynnika \((x+1)\).

• Skracanie a dziedzina

  Jeżeli licznik i mianownik mają wspólny czynnik, można go skrócić, ale pierwotne ograniczenia dziedziny pozostają. Na przykład: jeśli przed skróceniem w mianowniku występowało \((x-2)\), to \(x=2\) jest wyłączone z dziedziny, nawet jeśli po skróceniu ten czynnik nie będzie widoczny w zapisie wyniku.

• Jak sprawdzać wspólne czynniki

  Użyj faktoryzacji, wyznaczania największego wspólnego dzielnika (NWD) wielomianów lub sprawdzania, czy pierwiastki licznika pokrywają się z pierwiastkami mianownika.

Przykłady — krótkie i jasne

Przykład 1 (szybkie ćwiczenie)

Dodaj wyrażenia \( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} \).

Rozwiązanie — skrócona wskazówka:

• Oba mianowniki są liniowe.
• NWM = \((x-1)(x+1)\).
• Rozszerzamy:
  • \( \frac{1}{x-1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)}\)
  • \( \frac{1}{x+1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}\)
• Dodajemy liczniki:

  \[ \frac{x+1 + x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{(x-1)(x+1)} \]

• Dziedzina: \(x\neq 1, -1\).

Przykład 2 (krótkie przypomnienie — odejmowanie)

Odejmij \( \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} \).

Wskazówka:

• Mianowniki: \(x\) i \(x^2\) — NWM to \(x^2\).
• Rozszerzenie: \( \frac{2}{x} = \frac{2x}{x^2} \).
• Różnica: \( \frac{2x - 1}{x^2} \).
• Dziedzina: \(x\neq 0\).

Przykład szczegółowy (prowadzenie krok po kroku)

Zadanie: Oblicz sumę (w najprostszej postaci)

\[ \frac{x+1}{x+2} + \frac{x-1}{x+1} \]

Krok 1 — rozkład mianowników

Oba mianowniki są liniowe i już rozłożone: \(x+2\) oraz \(x+1\).

Krok 2 — najmniejszy wspólny mianownik (NWM)

NWM = \((x+2)(x+1)\).

Krok 3 — rozszerzanie ułamków do wspólnego mianownika

\[ \frac{x+1}{x+2} = \frac{(x+1)(x+1)}{(x+2)(x+1)} = \frac{(x+1)^2}{(x+1)(x+2)} \]

\[ \frac{x-1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+2)} \]

Krok 4 — dodanie liczników

\[ \frac{(x+1)^2 + (x-1)(x+2)}{(x+1)(x+2)} \]

Rozwijamy wyrażenia w liczniku:

\[ (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \]

\[ (x-1)(x+2) = x^2 + x - 2 \]

Suma liczników: \( (x^2 + 2x + 1) + (x^2 + x - 2) = 2x^2 + 3x - 1 \).

Krok 5 — wynik i sprawdzenie możliwości uproszczenia

\[ \frac{2x^2 + 3x - 1}{(x+1)(x+2)} \]

Aby sprawdzić, czy można coś skrócić, rozwiązujemy równanie \(2x^2 + 3x - 1 = 0\). Pierwiastki to \(x=\frac{1}{2}\) oraz \(x=-1\). Widzimy, że \(x=-1\) jest pierwiastkiem licznika i jednocześnie zeruje czynnik \((x+1)\) w mianowniku. Oznacza to, że w oryginalnym wyrażeniu dla \(x=-1\) mielibyśmy dzielenie przez zero — ta wartość musi być wyłączona z dziedziny.

Podajemy wynik:

\[ \frac{2x^2 + 3x - 1}{(x+1)(x+2)} \]

Dziedzina: \(x \neq -2, -1\).

Uwaga: algebraiczne skrócenie czynnika \((x+1)\) jest możliwe po rozłożeniu licznika, ale nie przywraca wartości \(x=-1\) do dziedziny — była ona wyłączona już z powodu pierwotnego mianownika.

Krótka wskazówka metodyczna

Gdy rozwiązujesz podobne zadania, proponowana kolejność działań:

1. Sprawdź dziedzinę od razu — wypisz wartości, dla których każdy mianownik jest zerem.
2. Rozłóż wszystkie mianowniki na czynniki.
3. Wyznacz NWM i rozszerz ułamki.
4. Dodaj/odejmij liczniki i uporządkuj wyrażenie (np. według potęg).
5. Spróbuj rozłożyć wynikowy licznik i sprawdź możliwość skrócenia, pamiętając o pierwotnych wykluczeniach z dziedziny.

Krótka checklista przed oddaniem zadania

• Czy wszystkie mianowniki zostały sprowadzone do wspólnego mianownika?
• Czy liczniki zostały poprawnie rozwinięte i zsumowane/odjęte?
• Czy rozłożyłeś licznik i sprawdziłeś możliwość skrócenia?
• Czy zapisałeś dziedzinę (wartości wyłączone)?

Podsumowanie

• Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika przez rozkład na czynniki i rozszerzanie.
• Dodaj lub odejmij liczniki, zachowując wspólny mianownik.
• Spróbuj uprościć wynik, ale zawsze zapisz dziedzinę (wartości wyłączone z powodu zerowania mianowników).
• Pamiętaj: skrócenie czynnika, który zeruje mianownik, nie przywraca tej wartości do dziedziny — należy ją wykluczyć.