Wyrażenia wymierne — teoria i przykład
Wyrażenie wymierne to wyrażenie algebraiczne będące ilorazem dwóch wielomianów (analogicznie do ułamka liczbowego, tylko zamiast liczb mamy wielomiany zależne od zmiennej, zwykle \( x \)). Przykład: \( (x^2 - 3x + 2) / (2x - 4) \).
Dziedzina wyrażenia wymiernego
Dziedzina wyrażenia wymiernego to wszystkie wartości zmiennej, dla których wyrażenie ma sens — czyli wszystkie wartości \( x \), dla których mianownik nie jest równy zero. Należy wykluczyć z dziedziny wszystkie pierwiastki wielomianu w mianowniku. Przykładowo, dla mianownika \( 2x - 4 \) mamy równanie \( 2x - 4 = 0 \), stąd \( x = 2 \), czyli \( x \neq 2 \).
Upraszczanie wyrażeń wymiernych
Upraszczać wyrażenia wymierne można analogicznie do skracania ułamków: dzielimy licznik i mianownik przez wspólny czynnik (wielomian) różny od zera. Z tego powodu przed skracaniem warto rozłożyć licznik i mianownik na czynniki — wtedy łatwo zauważyć wspólne czynniki, które można skrócić.
- Przykłady technik rozkładu:
- Różnica kwadratów: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).
- Trójmian kwadratowy \( ax^2 + bx + c \) — rozkład przez znalezienie pierwiastków lub użycie wzoru na deltę.
- Ważne: Możemy skracać tylko czynniki (całe nawiasy), nie składniki dodawane/odejmowane. Przed skróceniem upewnij się, które wyrażenia są czynnikami.
Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych
Przy mnożeniu mnożymy osobno liczniki i mianowniki. W praktyce najpierw rozkładamy wszystkie wielomiany na czynniki i skracamy wspólne czynniki między licznikami i mianownikami różnych ułamków, a dopiero potem wykonujemy mnożenie — zmniejsza to obliczenia i ryzyko błędów.
Przy dzieleniu przez wyrażenie wymierne \( A/B \) należy pomnożyć przez jego odwrotność \( B/A \) (oczywiście \( A \) i \( B \) muszą być różne od zera oraz należy pamiętać o warunkach wyjściowych dotyczących dziedziny).
Przykład (rozkład, skracanie, wynik)
Zadanie: Uprość wyrażenie
\[ (x^2 - 4) / (x^2 - x - 2) \cdot (x^2 - 1) / (x - 2) \]Krok 1 — rozkład na czynniki (jeśli to możliwe)
- \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \) — różnica kwadratów
- \( x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \) — trójmian kwadratowy z pierwiastkami \( x = 2 \) i \( x = -1 \)
- \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \) — różnica kwadratów
Podstawiamy:
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x-2} \]Krok 2 — skracanie wspólnych czynników
Pamiętając o warunkach wyjściowych (mianownikach), skracamy wspólne czynniki:
- Czynnik \( (x - 2) \) występuje w pierwszym liczniku oraz w pierwszym i drugim mianowniku — można go skrócić.
- Czynnik \( (x + 1) \) występuje w pierwszym mianowniku i w drugim liczniku — można go skrócić.
Po skróceniu pozostaje:
\[ (x+2)\cdot(x-1) = (x+2)(x-1) \]Krok 3 — wynik i dziedzina
Ostatecznie uproszczone wyrażenie to \( (x+2)(x-1) \).
Dziedzina: Należy pamiętać, że z dziedziny trzeba wykluczyć wszystkie wartości, dla których którykolwiek z pierwotnych mianowników był równy zero. W tym przykładzie pierwotne mianowniki dawały zera dla:
- \( x = 2 \) (pochodzi od czynników \( x - 2 \)),
- \( x = -1 \) (pochodzi od czynnika \( x + 1 \)).
Zauważ, że \( x = 1 \) zeruje licznik, ale nie zeruje żadnego z pierwotnych mianowników — zatem \( x = 1 \) nie jest wykluczone z dziedziny (może powodować, że wartość wyrażenia będzie równa zero). Uproszczona postać nie przywraca jednak do dziedziny tych wartości, które były wcześniej wykluczone: jeśli \( x_0 \) powodowało, że pierwotny mianownik = 0, to mimo skrócenia musimy nadal pamiętać, że wyrażenie jest niewykonalne dla \( x = x_0 \).
Uwagi dodatkowe — dlaczego pamiętać o wykluczeniach?
- Skracanie czynników nie przywraca tych wartości do dziedziny: uproszczona postać jest równoważna z oryginałem tylko na zbiorze pierwotnej dziedziny.
- Nie wolno skracać składników (np. części sumy) — tylko całe czynniki (nawiasy, jednomiany). Błąd: nie można skrócić \( x+2 \) z \( x+3 \) ani „części” sumy.
- Przy rozwiązywaniu równań z wyrażeniami wymiernymi: najpierw zanotuj dziedzinę, potem upraszczaj, a na końcu sprawdzaj otrzymane rozwiązania w dziedzinie (aby wyeliminować rozwiązania doprowadzające do dzielenia przez zero).
Krótka ściąga — kolejność działań przy upraszczaniu
- Zapisz wyrażenie i zanotuj wszystkie mianowniki (ustal dziedzinę: wyklucz wartości zerujące każdy mianownik).
- Rozłóż liczniki i mianowniki na czynniki (różnica kwadratów, rozkład trójmianów, wyciąganie wspólnego czynnika itd.).
- Skróć wspólne czynniki między licznikami i mianownikami.
- Wykonaj mnożenie (jeśli trzeba) i doprowadź do prostszej postaci.
- Na końcu przypomnij sobie/odnotuj dziedzinę — wszystkie wartości wcześniej wykluczone pozostają wykluczone.
Materiały opracowane jako przegląd podstawowych zasad pracy z wyrażeniami wymiernymi.
