Trójkąt Pascala i dwumian Newtona

Uwaga: Nie znaleziono dodatkowych materiałów przesłanych przez Ciebie — poniżej znajduje się przetworzony i rozszerzony tekst wyjściowy z dokładniejszym wyjaśnieniem zagadnień.

Część teoretyczna

Trójkąt Pascala to uporządkowany układ współczynników dwumianowych przedstawiony w kształcie trójkąta. Zaczyna się od jedynki na szczycie. Każda kolejna linia powstaje z poprzedniej poprzez dodawanie sąsiadujących elementów — na brzegach wierszy zawsze stoi 1.

Pierwsze wiersze trójkąta Pascala wyglądają tak:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Wiersze numerujemy od zera (wiersz 0: 1, wiersz 1: 1 1, wiersz 2: 1 2 1, itd.). Elementy w n-tym wierszu to współczynniki dwumianowe \( \binom{n}{k} \) dla kolejnych wartości \( k = 0,1,\dots,n \).

Wzór i podstawowe własności współczynników dwumianowych

• Wzór ogólny (symbol Newtona):

  \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

• Brzegowe wartości: \( \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1 \).
• Pierwsze współczynniki: \( \binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n \).
• Symetria: \( \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \) (elementy w wierszu są symetryczne).
• Tożsamość Pascala: każda liczba w trójkącie jest sumą dwóch liczb nad nią:

  \[ \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1} \]

Dwumian Newtona (wzór na potęgę sumy)

Współczynniki dwumianowe pojawiają się we wzorze rozwijającym potęgę sumy, czyli w dwumianie Newtona:

\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{\,n-k} b^{\,k} = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \dots + \binom{n}{n}a^0 b^n \]

Jeżeli w sumie występuje minus, np. \( (a - b)^n \), wystarczy podstawić \( b := -b \) w powyższym wzorze. To powoduje pojawienie się czynnika \( (-1)^k \) przy wyrazie z \( b^k \), co daje naprzemienne znaki (w zależności od parzystości \( k \)).

Przykład (rozszerzony)

Zadanie: Rozwiń wyrażenie \( (2x - 3)^4 \), korzystając z trójkąta Pascala.

Wyjaśnienie krok po kroku:

1. Ustal parametry dwumianu: \( a = 2x \), \( b = -3 \), \( n = 4 \).
2. Weź współczynniki z 4. wiersza trójkąta Pascala: 1, 4, 6, 4, 1.
3. Zapisz rozwinięcie przy użyciu wzoru:

   \[ (2x - 3)^4 = 1\cdot(2x)^4 + 4\cdot(2x)^3\cdot(-3) + 6\cdot(2x)^2\cdot(-3)^2 + 4\cdot(2x)\cdot(-3)^3 + 1\cdot(-3)^4 \]

4. Oblicz kolejne składniki (przekształcenia krok po kroku):
   • \( (2x)^4 = 16x^4 \)
   • \( (2x)^3 \cdot (-3) = 8x^3 \cdot (-3) = -24x^3 \) → po przemnożeniu przez 4: \(4 \cdot (-24x^3) = -96x^3\)
   • \( (2x)^2 \cdot (-3)^2 = 4x^2 \cdot 9 = 36x^2 \) → po przemnożeniu przez 6: \(6 \cdot 36x^2 = 216x^2\)
   • \( (2x) \cdot (-3)^3 = 2x \cdot (-27) = -54x \) → po przemnożeniu przez 4: \(4 \cdot (-54x) = -216x\)
   • \( (-3)^4 = 81 \)
5. Sumując otrzymane wyrazy, otrzymujemy wynik:

   \[ 16x^4 - 96x^3 + 216x^2 - 216x + 81 \]

   (To jest rozwinięcie \( (2x - 3)^4 \).)

Co warto zauważyć w tym przykładzie

• Symetria współczynników: ciąg 1, 4, 6, 4, 1 jest symetryczny.
• Znaki wyrazów wynikają z potęgowania \( -3 \): dla nieparzystych \( k \) pojawiają się znaki ujemne, dla parzystych — dodatnie.
• Można wyciągnąć interesujący wyraz bez rozwijania całego wielomianu — wystarczy znaleźć odpowiednie \( k \) w ogólnym wzorze.

Jak odczytać konkretny wyraz (np. wyraz z x^3) bez pełnego mnożenia

Ogólny k-ty wyraz w rozwinięciu \( (a + b)^n \) odpowiada:

\[ T_k = \binom{n}{k} a^{\,n-k} b^{\,k} \]

Aby znaleźć współczynnik przy danej potędze zmiennej (np. przy \( x^3 \) w przykładzie \( (2x - 3)^4 \)), wykonaj kroki:

1. Zidentyfikuj, przy której wartości \( k \) wystąpi żądana potęga \( x \). Skoro \( a = 2x \), to \( a^{\,n-k} \) zawiera \( x^{\,n-k} \). Aby otrzymać \( x^3 \), potrzebujemy \( n-k = 3 \) → dla \( n = 4 \) mamy \( k = 1 \).
2. Podstaw \( k \) do wzoru: \( T_1 = \binom{4}{1} (2x)^{3} (-3)^1 = 4 \cdot 8x^3 \cdot (-3) = -96x^3 \).
3. Otrzymany wyraz to właśnie \( -96x^3 \).

Dodatkowe wskazówki i interpretacje

• Kombinatoryczny sens \( \binom{n}{k} \): liczba sposobów wyboru \( k \) elementów z \( n \) (przydaje się w zadaniach kombinatorycznych i rachunku prawdopodobieństwa).
• Jeżeli potrzebujesz tylko współczynnika, a nie całego rozwinięcia, łatwiej zastosować wzór z \( \binom{n}{k} \) niż rozkładać pełne mnożenie.
• Do większych potęg można używać tablic trójkąta Pascala (lub generować współczynniki za pomocą wzoru z silniami albo rekurencyjnie przez tożsamość Pascala).

Podsumowanie

Trójkąt Pascala to wygodna i intuicyjna metoda na uzyskanie współczynników dwumianu, które następnie stosujemy we wzorze Newtona do rozwinięcia \( (a + b)^n \). Rozumienie konstrukcji trójkąta, wzoru z silniami oraz sposobu podstawiania \( a \) i \( b \) (szczególnie gdy jedno z nich jest ujemne) pozwala szybko i pewnie rozwiązywać zadania związane z rozwinięciami dwumianów.