Definicja pierwiastka wielomianu

Definicja: Liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W(x) (czyli rozwiązaniem równania W(x) = 0), jeśli po podstawieniu r do wielomianu otrzymamy zero: \(W(r)=0\).

Przykład: dla \(W(x)=x^2-5x+6\) pierwiastkami są x = 2 i x = 3, ponieważ \(W(2)=0\) oraz \(W(3)=0\).

Związek między pierwiastkami a rozkładem na czynniki

Jeśli r jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to dwumian (x − r) jest dzielnikiem W(x). Innymi słowy:

\[W(x) = (x - r)\cdot Q(x)\]

gdzie Q(x) jest wielomianem o stopniu o jeden mniejszym niż W(x). To twierdzenie pozwala przejść od znajdowania pojedynczych pierwiastków do pełnego rozkładu wielomianu na czynniki liniowe (jeśli wszystkie pierwiastki są wymierne lub rzeczywiste).

Twierdzenie o pierwiastku wymiernym (przy całkowitych współczynnikach)

Jeżeli W(x) ma całkowite współczynniki, a ułamek p/q (w postaci nieskracalnej) jest pierwiastkiem wymiernym tego wielomianu, to:

• licznik p dzieli wyraz wolny wielomianu,
• mianownik q dzieli współczynnik przy najwyższej potędze (wiodący współczynnik).

To ogranicza zbiór kandydatów na pierwiastki wymierne do skończonej listy (dzielników wyrazu wolnego podzielonych przez dzielniki współczynnika wiodącego). Dla wielomianów jednostkowych (wiodący współczynnik = 1) kandydatami są tylko dzielniki wyrazu wolnego.

Dzielenie wielomianów przez (x − r) i schemat Hornera

Dzielenie wielomianu W(x) przez dwumian liniowy (x − r) daje iloraz Q(x) i resztę. Jeśli r jest pierwiastkiem, reszta wynosi 0. Dzielenie można przeprowadzić tradycyjnym algorytmem pisemnym lub szybciej — schematem Hornera (tzw. dzielenie syntetyczne).

Idea schematu Hornera: zapisujemy współczynniki wielomianu, następnie "ściągamy" pierwszy współczynnik jako pierwszy współczynnik ilorazu, mnożymy go przez r, dodajemy do drugiego współczynnika, otrzymujemy następny współczynnik ilorazu itd. Ostatnia liczba to reszta z dzielenia.

Zadanie

Znajdź wszystkie pierwiastki wielomianu P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6 i rozłóż go na czynniki.

Rozwiązanie (wyjaśnione krok po kroku)

1. Lista kandydatów na pierwiastki całkowite:

   Sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego (6), czyli ±1, ±2, ±3, ±6.

2. Testujemy podstawienie:

   Obliczamy \(P(1)=1-2-5+6=0\), więc x = 1 jest pierwiastkiem.

3. Dzielenie przez (x − 1) schematem Hornera:

   Zapisujemy współczynniki wielomianu: \(1,\,-2,\,-5,\,6\) i stosujemy schemat z \(r=1\).

   • Przenieś pierwszy współczynnik: \(1\).
   • Pomnóż przez \(r\): \(1\cdot r = 1\). Dodaj do drugiego współczynnika: \(-2 + 1 = -1\).
   • Pomnóż przez \(r\): \(-1\cdot r = -1\). Dodaj do trzeciego współczynnika: \(-5 + (-1) = -6\).
   • Pomnóż przez \(r\): \(-6\cdot r = -6\). Dodaj do czwartego współczynnika: \(6 + (-6) = 0\) (reszta).

   Otrzymane współczynniki ilorazu: \(1,\,-1,\,-6\) — stąd \(Q(x)=x^2-x-6\).

Faktoryzujemy trójmian kwadratowy \(Q(x)=x^2-x-6\).

• Szukamy dwóch liczb, których suma wynosi \(-1\) (współczynnik przy \(x\)), a iloczyn \(-6\) (wyraz wolny). Właściwą parą jest \(-3\) i \(2\), ponieważ \((-3)+2=-1\) i \((-3)\cdot 2=-6\).
• Zatem \(Q(x)=(x-3)(x+2)\).

Końcowy rozkład wielomianu \(P(x)\):

\[P(x)=(x-1)(x-3)(x+2)\]

Pierwiastkami wielomianu są x = 1, 3, −2. Można dodatkowo sprawdzić podstawiając te wartości do \(P(x)\), np. \(P(3)=27-18-15+6=0\) oraz \(P(-2)=-8-8+10+6=0\).

Dodatkowe wyjaśnienia i wskazówki

• Jak szybko znaleźć pierwiastki wymierne:

  Najpierw wypisz dzielniki wyrazu wolnego (i ewentualnie podziel je przez dzielniki wiodącego współczynnika). Testuj kandydatów od najprostszych (±1, ±2, …) aż znajdziesz taki, dla którego wielomian daje zero.

• Dlaczego schemat Hornera jest wygodny:

  Redukuje on liczbę działań i pozwala szybko uzyskać współczynniki ilorazu oraz resztę. Jest szczególnie przydatny, gdy trzeba kolejno dzielić przez kilka dwumianów liniowych (np. po znalezieniu jednego pierwiastka).

• Jeśli nie znajdziesz pierwiastków wymiernych:

  Wielomian może mieć pierwiastki niewymierne lub zespolone — wtedy trzeba użyć metod numerycznych, wzorów (dla kwadratowych) lub rozważyć faktoryzację z użyciem pierwiastków kwadratowych i liczb zespolonych.

• Ćwiczenie:

  Samodzielnie spróbuj rozłożyć na czynniki wielomiany stopnia 3 lub 4, używając listy kandydatów z twierdzenia o pierwiastku wymiernym oraz schematu Hornera — to dobrze utrwali umiejętność.