Część teoretyczna — logika i zbiory liczbowe

Zdania w matematyce

W matematyce operujemy zdaniami, czyli wypowiedzeniami, które są prawdziwe albo fałszywe. Zdania mogą dotyczyć właściwości liczb, relacji między nimi lub twierdzeń logicznych. Przykłady:

• Zdanie „2 jest liczbą pierwszą” — prawdziwe.
• Zdanie „\( \sqrt{2} \) jest liczbą wymierną” — fałszywe.

Zdanie otwarte to zdanie, którego prawdziwość zależy od wartości zmiennej. Zamiast konkretnej liczby pojawia się zmienna, np. x, a zdanie staje się prawdziwe lub fałszywe dopiero po podstawieniu konkretnej wartości za tę zmienną. Przykład: \( x + 2 = 5 \) jest zdaniem otwartym — prawdziwe dla x = 3, fałszywe dla innych wartości. W praktyce, przy rozwiązywaniu zadań z otwartymi zdaniami, ważne jest określenie zakresu zmiennej — np. czy x należy do \( \mathbb{N} \), \( \mathbb{Z} \) czy \( \mathbb{R} \).

Negacja zdania

Negacja (zaprzeczenie) zdania A to zdanie, które jest prawdziwe dokładnie wtedy, gdy A jest fałszywe. Negację zwykle oznaczamy słownie jako „nie A” lub symbolem \( \neg A \).

Przykład: zdanie „\( \sqrt{2} \) jest liczbą wymierną” jest fałszywe, a jego negacją jest „\( \sqrt{2} \) nie jest liczbą wymierną” — to zdanie jest prawdziwe.

W praktyce, przy formułowaniu negacji, zwróć uwagę na spójniki logiczne i kwantyfikatory — to one decydują o strukturze zaprzeczenia.

Prawa De Morgana

Przy negowaniu zdań złożonych zawierających spójniki logiczne stosujemy prawa De Morgana. Pozwalają one przekształcić negację koniunkcji lub alternatywy na równoważne zdanie bez zewnętrznej negacji.

Negacja koniunkcji (i):

\[ \neg (A \land B) \equiv (\neg A) \lor (\neg B) \]

Negacja alternatywy (lub):

\[ \neg (A \lor B) \equiv (\neg A) \land (\neg B) \]

Uwaga językowa: w potocznym języku słowo „lub” bywa czasem rozumiane jako alternatywa wykluczająca (dokładnie jedno z dwóch). W logice „lub” to alternatywa niewykluczająca — dopuszcza się, że oba zdania mogą być prawdziwe jednocześnie. Przy tłumaczeniu zdań naturalnych na język logiczny warto wyraźnie zaznaczyć, czy chodzi o „exclusive or” czy o zwykłe „or”.

Negacja zdań z kwantyfikatorami

W zdaniach z kwantyfikatorami (np. „dla każdego”, „istnieje”) negacja odwraca kwantyfikator i neguje treść. Kluczowe reguły to:

\[ \neg (\forall x\, P(x)) \equiv \exists x\, \neg P(x) \]

\[ \neg (\exists x\, P(x)) \equiv \forall x\, \neg P(x) \]

Interpretacja: zaprzeczenie zdania „dla każdego \( x \) zachodzi \( P(x) \)” mówi, że istnieje przynajmniej jeden kontrprzykład; zaprzeczenie „istnieje \( x \) spełniający \( P(x) \)” oznacza, że żaden element nie spełnia \( P(x) \).

Zbiory liczbowe

W analizie matematycznej operujemy kilkoma podstawowymi zbiorami liczb. Poniżej najważniejsze z krótkim opisem i zapisem symbolicznym.

• \( \mathbb{N} \) — liczby naturalne. W tym materiale przyjmujemy, że \( 0 \in \mathbb{N} \), czyli:
  \[ \mathbb{N} = \{0,1,2,3,\dots\} \].
• \( \mathbb{Z} \) — liczby całkowite: \( \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \).
• \( \mathbb{Q} \) — liczby wymierne: liczby, które da się przedstawić jako ułamek \( \tfrac{p}{q} \), gdzie \( p, q \in \mathbb{Z} \) i \( q \neq 0 \).
• \( \mathbb{R} \) — liczby rzeczywiste: wszystkie punkty na osi liczbowej, obejmujące liczby wymierne i niewymierne (np. \( \sqrt{2} \), \( \pi \)).

W zadaniach zawsze sprawdź, jakie jest domyślne przyjęcie dotyczące \( \mathbb{N} \) — czy zawiera zero, czy zaczyna się od 1 — ponieważ zmienia to odpowiedzi w zadaniach dotyczących przykładów i własności.

Przedziały liczbowe

Do opisywania podzbiorów \( \mathbb{R} \) często używamy przedziałów. Poniżej zapis i znaczenie nawiasów:

• \( (a,b) \) — przedział otwarty: \( a < x < b \) (punkty końcowe nie należą do przedziału).
• \( [a,b] \) — przedział domknięty: \( a \le x \le b \) (oba końce należą).
• \( (a,b] \) — lewy koniec wyłączony, prawy włączony: \( a < x \le b \).
• \( [a,\infty) \) — zbiór wszystkich \( x \) takich, że \( x \ge a \); analogicznie \( (-\infty,b] \) to zbiór \( x \le b \).

Przykład zapisu i interpretacji: \( x \in (2,5] \) oznacza \( 2 < x \le 5 \). Przy pracy z przedziałami warto rysować prostą liczbową i zaznaczać końce (otwarte kółko = koniec nie należący, pełne kółko = koniec należący), by uniknąć pomyłek.

Przykład wraz z wyjaśnieniem krok po kroku

Zadanie: Podaj negację zdania „Istnieje liczba naturalna, która jest jednocześnie mniejsza od 0 i większa od 5”. Poniżej analiza krok po kroku z użyciem formalnej notacji.

1. Wyrażenie oryginalne ma postać kwantyfikatora egzystencjalnego z koniunkcją wewnątrz:
   \[ \exists n \in \mathbb{N}\ (n < 0 \land n > 5) \].
2. Negujemy całe zdanie. Negacja kwantyfikatora \( \exists \) to \( \forall \), a dodatkowo negujemy treść:
   \[ \neg(\exists n \in \mathbb{N}\ (n < 0 \land n > 5)) \equiv \forall n \in \mathbb{N}\ \neg(n < 0 \land n > 5) \].
3. Zastosuj prawa De Morgana do negacji koniunkcji:
   \[ \neg(n < 0 \land n > 5) \equiv (n \ge 0) \lor (n \le 5) \].
4. Ostateczne zdanie w języku naturalnym brzmi: „Dla każdej liczby naturalnej n zachodzi \( n \ge 0 \) lub \( n \le 5 \)”. Można to też sformułować prościej jako: „Żadna liczba naturalna nie jest jednocześnie mniejsza od 0 i większa od 5”.

Krótka interpretacja: ponieważ \( \mathbb{N} \) w naszym zapisie zawiera 0 i kolejne liczby nieujemne, warunek „mniejsza od 0 i większa od 5” jest sprzeczny dla każdego \( n \), więc oryginalne zdanie jest fałszywe; jego negacja stwierdza, że nie istnieje taki kontrprzykład — co formalnie sprowadza się do warunku z kroku 3.

Dodatkowe wyjaśnienia i wskazówki

• Przy negowaniu zdań złożonych najpierw rozpoznaj główny kwantyfikator (\( \exists \) lub \( \forall \)) i główny spójnik logiczny (\( \land \) / \( \lor \)). Negacja odwraca kwantyfikator i zmienia spójnik według praw De Morgana.
• W praktyce pomaga rysowanie i konkretne przykłady: myśl w kategoriach „dla wszystkich” (uniwersalne) versus „istnieje przynajmniej jeden” (egzystencjalne). Dzięki temu łatwiej uchwycić sens negacji.
• Precyzja językowa ma znaczenie: zwroty typu „nie istnieje” można formalnie zapisać jako negację kwantyfikatora egzystencjalnego:
  \[ \neg (\exists x\, \dots) \equiv \forall x\, \neg(\dots) \].
• W zadaniach dotyczących zbiorów liczbowych zawsze sprawdź domyślną konwencję (np. czy \( 0 \in \mathbb{N} \)). Różnice w konwencjach mogą wpływać na wynik rozumowania.
• Przy pracy z wyrażeniami symbolicznymi dbaj o czytelność: rozdzielaj kwantyfikatory od formuły za pomocą spacji i nawiasów, stosuj prawa De Morgana i reguły logiki w kolejnych krokach, aby uzasadnienie było przejrzyste.