Potęgowanie — teoria i przykłady
Uwaga: nie znaleziono dodatkowych materiałów w przesłanych plikach; poniżej znajduje się przetworzona i rozszerzona treść dotycząca potęgowania.
Co to jest potęga?
Potęgowanie to skrócony zapis wielokrotnego mnożenia przez tę samą liczbę. Potęgą o podstawie a i wykładniku n nazywamy iloczyn n czynników równych a. Symbolicznie:
\(a^n = a\cdot a\cdot \dots \cdot a\) (n czynników).
Przykład: \(2^5 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 32\).
Dlaczego \(a^0 = 1\)?
Dla dowolnej liczby a ≠ 0 przyjmujemy \(a^0 = 1\). Intuicyjne uzasadnienie: potęga to iloczyn pewnej liczby czynników — iloczyn zera czynników (tzw. pusty iloczyn) traktujemy jako 1 (analogicznie do sumy pustego zbioru równej 0).
Dowód korzystający z własności działań:
\[ \frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 \]
Lewą stronę tego równania równa jest 1, więc otrzymujemy \(a^0 = 1\).
Wykładnik ujemny
Wykładnik ujemny oznacza odwrotność potęgi o wykładniku dodatnim:
\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) dla \(a \ne 0\).
Przykład: \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\). Intuicyjnie: mnożenie przez \(a^{-1}\) działa jak dzielenie przez \(a\).
Wykładnik ułamkowy i pierwiastki
Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby b nazywamy liczbę a, która spełnia \(a^n = b\). Zapisujemy:
\(a = \sqrt[n]{b}\)
Dla nieujemnej podstawy (\(a \ge 0\)) wykładnik ułamkowy definiujemy jako:
\(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\)
Przykład: \(8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4\).
Uwaga: jeśli \(a < 0\), potęgi o ułamkowym wykładniku mogą nie być liczbami rzeczywistymi (np. \((-8)^{1/2}\) nie jest rzeczywiste).
Podstawowe własności potęg
Dla dodatnich podstaw \(a,b>0\) i dowolnych wykładników \(x,y\) (w szczególności wymiernych) zachodzą następujące reguły:
- \(a^x\cdot a^y = a^{x+y}\) — mnożenie potęg o tej samej podstawie: dodajemy wykładniki.
- \(\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}\) (dla \(a\ne0\)) — dzielenie potęg o tej samej podstawie: odejmujemy wykładniki.
- \((a^x)^y = a^{x\cdot y}\) — potęga potęgi: mnożymy wykładniki.
- \(a^x\cdot b^x = (a\cdot b)^x\) — potęga iloczynu: potęgujemy każdy czynnik lub potęgujemy iloczyn.
- \(\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x}\) (dla \(b\ne0\)) — potęga ilorazu.
Krótka intuicja dowodowa
- Dla \(a^x\cdot a^y\): \(a^x\) to iloczyn \(x\) czynników \(a\), \(a^y\) to iloczyn \(y\) czynników \(a\) — razem jest \(x+y\) czynników \(a\).
- Dla \((a^x)^y\): \(a^x\) to iloczyn \(x\) czynników \(a\), a podnosząc ten iloczyn do potęgi \(y\) otrzymujemy \(y\) bloków po \(x\) czynników, czyli \(x\cdot y\) czynników \(a\).
Własności monotoniczności funkcji wykładniczej
Dla podstawy \(a>1\) funkcja \(f(x)=a^x\) jest rosnąca: większy wykładnik daje większą wartość potęgi (np. \(2^3 < 2^4\)).
Dla \(0
Intuicja: mnożenie przez liczbę większą niż 1 zwiększa wartość, natomiast mnożenie przez liczbę z przedziału \((0,1)\) zmniejsza ją.
Szczegółowy przykład krok po kroku
Zadanie: Oblicz wartość wyrażenia \(2^3\cdot 4^2\cdot 2^{-5}\cdot 8^{2/3}\).
- Krok 1 — zapisz wszystkie składniki w tej samej podstawie (tu: 2):
- \(4^2 = (2^2)^2 = 2^{2\cdot 2} = 2^4\), ponieważ \(4=2^2\).
- \(8^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^{3\cdot (2/3)} = 2^2\), ponieważ \(8=2^3\).
- Krok 2 — mamy iloczyn potęg o tej samej podstawie:
\(2^3 \cdot 2^4 \cdot 2^{-5} \cdot 2^2\)
- Krok 3 — zastosuj regułę mnożenia potęg o tej samej podstawie (dodaj wykładniki):
\(2^{3+4+(-5)+2}\)
- Krok 4 — oblicz sumę wykładników i uprość:
\(3 + 4 - 5 + 2 = 4 \quad \Rightarrow \quad 2^4 = 16\)
Wynik: 16. (Można też łączyć potęgi po kolei, np. najpierw \(2^3\cdot 2^4 = 2^7\), itd.)
Dodatkowe wskazówki i uwagi
- Zawsze sprawdź, czy podstawy potęg można zapisać jako potęgi tej samej liczby — to znacznie ułatwia uproszczenie wyrażeń.
- Pamiętaj o ograniczeniach: dla wykładników ułamkowych zwykle zakładamy \(a\ge 0\), żeby wyniki były rzeczywiste (chyba że pracujemy w zbiorze liczb zespolonych).
- Przy rachunkach z wykładnikami ujemnymi zawsze sprawdzaj, czy nie dzielisz przez zero (czyli \(a\ne 0\)).
