Część teoretyczna
Logarytm jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Logarytmem liczby dodatniej b przy podstawie dodatniej \(a \neq 1\) nazywamy taką liczbę c, że
\[ a^{c} = b \]Notacja:
\[ c = \log_{a} b \]Innymi słowy, \( \log_{a} b \) odpowiada na pytanie: „do której potęgi podnieść \(a\), aby otrzymać \(b\)”. Na przykład \( \log_{2} 8 = 3 \), ponieważ \( 2^{3} = 8 \).
Ważne warunki i ograniczenia
- \(a > 0\) i \(a \neq 1\) — podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od 1. Warunek \(a \neq 1\) wynika z faktu, że potęga o podstawie 1 zawsze daje 1 (\(1^{c} = 1\) dla dowolnego \(c\)), więc nie da się uzyskać innych liczb.
- \(b > 0\) — logarytmujemy tylko liczby dodatnie (np. \( \log_{2}(-5) \) nie jest zdefiniowany w zbiorze liczb rzeczywistych).
Dlaczego logarytmy są przydatne? Logarytmy upraszczają mnożenie i dzielenie, zamieniając te działania odpowiednio na dodawanie i odejmowanie. Dzięki temu trudne do policzenia iloczyny można zamienić na prostsze sumy — jest to szczególnie użyteczne przy dużych zakresach liczb, analizie wykładniczej i rozwiązywaniu równań wykładniczych.
Podstawowe własności logarytmów
Przy założeniach \(a > 0,\ a \neq 1\) oraz argumentach \(x, y > 0\), zachodzą następujące wzory:
- \[ \log_{a}(x \cdot y) = \log_{a} x + \log_{a} y \]
- \[ \log_{a}\!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_{a} x - \log_{a} y \]
- \[ \log_{a}\!(x^{r}) = r \cdot \log_{a} x \quad\text{(dla dowolnej liczby rzeczywistej \(r\))} \]
Wzór na zmianę podstawy — pozwala wyrazić logarytm o dowolnej podstawie za pomocą logarytmów o innej podstawie \(a\) (często wygodnie wybierać \(a = 10\) lub \(a = e\)):
\[ \log_{b} x = \frac{\log_{a} x}{\log_{a} b} \]Z tego wzoru wynika także prosty fakt:
\[ \log_{b} x \cdot \log_{x} b = 1 \]Często używane podstawy: 10 (logarytm dziesiętny, oznaczany \(\log_{10}\) lub po prostu \(\log\)) oraz \(e \approx 2.71828\dots\) (logarytm naturalny, oznaczany \(\ln\)).
Przykład
Zadanie: Oblicz
\[ \log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4 \cdot \log_{4} 5 \cdot \log_{5} 2 \]Rozwiązanie (krok po kroku):
- Korzystamy z własności \[ \log_{p} q \cdot \log_{q} p = 1, \] wynikającej ze wzoru na zmianę podstawy.
- Pogrupujemy iloczyn: \[ (\log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4) \cdot (\log_{4} 5 \cdot \log_{5} 2). \]
- Obliczamy pierwszą parę: \[ \log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4 = \frac{\ln 3}{\ln 2} \cdot \frac{\ln 4}{\ln 3} = \frac{\ln 4}{\ln 2} = \log_{2} 4 = 2. \]
- Drugą parę upraszczamy podobnie: \[ \log_{4} 5 \cdot \log_{5} 2 = \frac{\ln 5}{\ln 4} \cdot \frac{\ln 2}{\ln 5} = \frac{\ln 2}{\ln 4} = \log_{4} 2. \]
- Cały iloczyn daje więc: \[ \log_{2} 4 \cdot \log_{4} 2 = 2 \cdot \log_{4} 2, \] oraz ze zmiany podstawy: \[ \log_{4} 2 = \frac{1}{\log_{2} 4} = \frac{1}{2}. \]
- Ostatecznie: \[ 2 \cdot \frac{1}{2} = 1. \]
Intuicyjnie: kolejne podstawy i argumenty logarytmów „zazębiają się” w cykl \(2 \to 3 \to 4 \to 5 \to 2\), co sprawia, że iloczyn upraszcza się do \(\log_{2} 2 = 1\).
Dodatkowe wyjaśnienia i wskazówki
- Przy rozwiązywaniu zadań z logarytmami warto często korzystać z naturalnego logarytmu \(\ln\) do przekształceń — dzięki temu mnożenia i dzielenia logarytmów często się skracają.
- Jeśli w iloczynie lub ilorazie logarytmów napotkasz powtarzające się „łańcuchy” podstaw i argumentów (np. \(\log_{a} b \cdot \log_{b} c \cdot \log_{c} a\)), zwykle da się je uprościć do prostszej postaci dzięki wzorowi na zmianę podstawy.
- W zadaniach z potęgami i logarytmami przydatna jest też własność \[ \log_{a}(x^{r}) = r \cdot \log_{a} x, \] która pozwala wyciągać wykładniki przed znak logarytmu i upraszczać obliczenia.
