Wyrażenia algebraiczne
Wyrażenie algebraiczne to wyrażenie złożone z liczb, symboli literowych (zmiennych), znaków działań arytmetycznych oraz nawiasów. Zmienne (np. \(x\), \(y\), \(a\)) mogą przyjmować różne wartości liczbowe — to dzięki nim wyrażenia są ogólne i można je obliczać dla różnych podstawień.
Jednomian
Jednomian to wyrażenie, w którym liczby i zmienne są połączone jedynie działaniem mnożenia (ewentualnie poprzedzone znakiem minus). Część liczbową jednomianu nazywamy współczynnikiem, a część literową — zmienną z odpowiednimi potęgami.
- Przykłady jednomianów: \(5x^{3}\), \(-\frac{1}{2}\cdot a\cdot b^{2}\), \(7\) (liczba też jest jednomianem — iloczyn jednej liczby).
- Jednomian ma ogólną postać \(c\cdot x^{n}\), gdzie \(c\) to współczynnik, a \(n\) to wykładnik potęgi zmiennej.
Wielomian
Wielomian to suma kilku jednomianów. Każdy składnik tej sumy nazywamy wyrazem wielomianu.
- Przykład: \(4x^{2}-3x+1\) — wyrazy to \(4x^{2}\), \(-3x\), \(1\).
- Wielomian jednej zmiennej ma postać sumy wyrazów:
\[ a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\dots+a_{0}. \] - Stopień wyrazu \(a x^{n}\) to \(n\), a stopień wielomianu to największy stopień spośród jego wyrazów (dla \(4x^{2}-3x+1\) stopień = \(2\)).
Wyrazy podobne
Wyrazy podobne (zwane też jednomianami podobnymi) to jednomiany, które mają tę samą część literową — czyli te same zmienne w tych samych potęgach. Można je łączyć przez dodawanie lub odejmowanie, sumując lub odejmując ich współczynniki, przy zachowaniu tej samej części literowej.
- Przykład: \(2x^{2}\) i \(-5x^{2}\) są podobne — ich suma to \((2-5)x^{2}=-3x^{2}\).
- Wyrazy, które mają różne potęgi lub różne zmienne, nie są podobne (np. \(x\) i \(x^{2}\) nie są podobne).
Mnożenie wielomianów i rozdzielność
Przy mnożeniu wyrażeń algebraicznych stosujemy zasadę rozdzielności mnożenia względem dodawania: każdy wyraz pierwszego wielomianu mnożymy przez każdy wyraz drugiego, a następnie łączymy wyrazy podobne w wyniku.
- Przykład rozdzielności:
\[ (a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd. \] - Przy mnożeniu potęgi się dodają: \(x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}\).
Jak upraszczać wielomiany — ogólne kroki
- Jeżeli są nawiasy z mnożeniem, najpierw wykonaj mnożenie (zastosuj rozdzielność).
- Po wykonaniu mnożenia zbierz wszystkie wyrazy w jedną sumę.
- Znajdź wyrazy podobne (te same zmienne i potęgi) i dodaj/odejmij ich współczynniki.
- Uporządkuj wynik, zwykle według malejących potęg zmiennej (np. \(x^{2}, x, \text{stała}\)).
Przykład — uproszczenie wyrażenia
Zadanie: Uprość wyrażenie
\[ (6x^{2}-18x+9)+3(2x^{2}+5x-1). \]
Kroki rozwiązania:
-
Mnożenie przez liczbę:
najpierw mnożymy każdy wyraz w drugim nawiasie przez 3:
\[ 3(2x^{2}+5x-1)=3\cdot 2x^{2}+3\cdot 5x+3\cdot(-1)=6x^{2}+15x-3. \] -
Dodawanie sum:
po wykonaniu mnożenia mamy sumę dwóch wielomianów:
\[ (6x^{2}-18x+9)+(6x^{2}+15x-3). \] -
Łączenie wyrazów podobnych:
grupujemy wyrazy o tych samych potęgach i dodajemy ich współczynniki:
\[ 6x^{2}+6x^{2}=12x^{2}, \] \[ -18x+15x=-3x, \] \[ 9+(-3)=6. \] -
Wynik końcowy:
\[ 12x^{2}-3x+6. \] To jest postać uproszczona i zebrana (wyrazy podobne połączone). Można dodatkowo sprawdzić, czy wszystkie wyrazy mają wspólny czynnik:
\[ 12x^{2}-3x+6=3(4x^{2}-x+2). \]
Wskazówki i dodatkowe wyjaśnienia
- Rozpoznawaj wyrazy podobne po części literowej: te same zmienne w tych samych potęgach. Współczynniki się sumuje, a część literowa pozostaje bez zmian.
- Jeśli w wyrazie brak jest zmiennej (np. \(7\)), traktujemy go jako wyraz z \(x^{0}\) (stopień 0).
- Podczas mnożenia wielomianów zapisuj wyniki pośrednie (często pomaga tabelka lub rozpisanie każdego iloczynu osobno), żeby nie pominąć żadnego wyrazu.
- Ćwicz na przykładach o różnej liczbie zmiennych — dodawanie i mnożenie działa tak samo, ale wyrazy podobne muszą mieć identyczne potęgi przy każdej zmiennej (np. \(2ab\) i \(-5ab\) są podobne, ale \(2a^{2}b\) nie).
Jak ćwiczyć samodzielnie
- Przetwarzaj wyrażenia z nawiasami — najpierw mnożenie, potem łączenie wyrazów podobnych.
- Próbuj zapisywać wyniki pośrednie i porządkować wyrazy według stopnia.
- Sprawdzaj odpowiedzi podstawiając konkretne liczby za zmienne (np. \(x=1\), \(x=2\)) — obliczony wynik przed i po uproszczeniu powinien być taki sam.
